Generador de Exámenes

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. a) (1 punto) Calcular los límites: $\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}}$ y $\lim_{x\to-\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x+1)}}$. b) (1 punto) Calcular la integral $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + 3x^2} dx$. c) (1 punto) Hallar el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 9x + 14}$. Hallar el conjunto de puntos en los que la función $f$ tiene derivada.

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dados los puntos $P(-1, -1, 1)$, $Q(1, 0, 2)$ y los planos $$\pi_1 \equiv x - z = 0, \quad \pi_2 \equiv my - 6z = 0, \quad \pi_3 \equiv x + y - mz = 0,$$ se pide: a) (1 punto) Calcular los valores de $m$ para los que los tres planos se cortan en una recta. b) (1 punto) Para $m = 3$, hallar la ecuación del plano que contiene al punto $P$ y es perpendicular a la recta de intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. c) (1 punto) Hallar la distancia entre los puntos $Q$ y $P'$, siendo $P'$ el punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi_1$.

Sabiendo que $P(A) = 0.5$, $P(A|B) = 0.625$ y $P(A \cup B) = 0.65$, se pide calcular: a) (1.5 puntos) $P(B)$ y $P(A \cap B)$. b) (1 punto) $P(A|A \cup B)$ y $P(A \cap B|A \cup B)$.

Pregunta 1.1. (2.5 puntos) En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que: • El equipo anotó 80 puntos con un acierto del 80% en tiros de uno, del 50% en tiros de dos y del 40% en tiros de tres. • La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos. • El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

Dada la matriz: $$M = \begin{pmatrix} m & 1 & 2m \\ m & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},$$ se pide: a) (1,25 puntos). Determinar los valores del parámetro $m$ para los cuales la matriz $M$ es invertible. b) (0,5 puntos). Determinar los valores del parámetro $m$ para los cuales la matriz $M^{25}$ es invertible. c) (1,25 puntos). Para $m = -1$ calcular, si es posible, la matriz inversa $M^{-1}$ de $M$.

Sea la función $f(x)$ definida por: $$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2}{2+x^2} & \text{si } x \le -1,\\ \frac{2x^2}{3-3x} & \text{si } x > -1. \end{cases}$$ Se pide: a) Estudio de la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$. b) Cálculo del límite: $\lim_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2 - 1}$. c) Cálculo de la integral: $\int_{-1}^{0} f(x) dx$.

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: $$f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}$$ se pide: a) (0’75 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$. b) (0’75 puntos) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de $f(x)$. c) (0’75 puntos) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de $f(x)$. d) (0,75 puntos) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $y = x + 2$, $x = 1$.