Generador de Exámenes

Dada la función: $$f(x) = e^{-x}(x^2 + 1)$$ se pide: a) (2 puntos). Dibujar la gráfica de $f$, estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas. b) (1 punto). Calcular: $$\int_{0}^{1} f(x) dx$$

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos. En la sección de idiomas de una biblioteca municipal se tienen libros, en francés o inglés, de tres categorías: el $50\%$ son cuentos infantiles, el $30\%$, novelas históricas y el resto, manuales técnicos. Uno de cada cinco de los cuentos está en francés y una de cada tres de las novelas, en inglés. Por otra parte, uno de cada siete de los libros en francés es un manual técnico. Se toma un libro al azar y se pide: a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que esté en francés si no es un manual técnico. b) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que esté escrito en francés, y la probabilidad de que si está en inglés sea una novela histórica.

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las rectas: $$r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 4}{-1} , \quad s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4} ,$$ se pide: a) (2 puntos) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a $r$ y $s$. b) (1 punto) Calcular la mínima distancia entre las rectas $r$ y $s$.

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 2.5 puntos. Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.

Pregunta 1.2. Sean la matriz $A=\begin{pmatrix}4&1&0\\2&3&0\\3&2&2\end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 3. Se pide: a) (1.25 puntos) Calcular el polinomio $P(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio. b) (1.25 puntos) Para $\lambda=5$, calcular un vector no nulo $\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ que satisfaga que $(A-\lambda I)\vec v=\vec 0$.

Dada la función $f(x) = 2 \cos^2 x$, se pide: a) (1 punto) Determinar los extremos absolutos de $f(x)$ en $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ b) (1 punto) Determinar los puntos de inflexión de $f(x)$ en $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ c) (1 punto) Calcular $\int_{0}^{\pi/2} f(x) dx$.

Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. a) (1 punto) Calcular el siguiente límite: $$\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}}}.$$ b) (1 punto) Demostrar que la ecuación $4x^5 + 3x + m = 0$ sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número $m$. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.