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Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: $$f(x) = \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5}$$ se pide: a) (1’5 puntos) Estudiar y obtener las asíntotas. b) (1 punto) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad. c) (0’5 puntos) Representar gráficamente la función.

En un juego de rol, un ataque es crítico si se obtiene 'cara' en el lanzamiento de una moneda y un '9' o un '10' en un dado de 10 caras. a) Si se realizan 5 ataques, calcula la probabilidad de obtener 3 o menos golpes críticos. b) En otra situación con ataques mejorados, la probabilidad de crítico es de 0.20. Si se realizan 100 ataques, calcula la probabilidad de obtener no menos de 15 y no más de 25 críticos.

Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} 2x + 4y = 4k, \\ -k^3x + k^2y + kz = 0, \\ x + ky = k^2, \end{cases}$$ se pide: a) (2 puntos) Discutirlo en función del valor del parámetro $k$. b) (0'5 puntos) Resolver el sistema para $k = 1$. c) (0'5 puntos) Resolver el sistema para $k = 2$.

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Dado el punto $A(1, 0, -1)$, la recta $r \equiv x - 1 = y + 1 = \frac{z - 2}{2}$ y el plano $\pi \equiv x + y - z = 6$, se pide: a) (0.75 puntos) Hallar el ángulo que forman el plano $\pi$ y el plano perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $A$. b) (0.75 puntos) Determinar la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$. c) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por $A$, forma un ángulo recto con la recta $r$ y no corta al plano $\pi$.

Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Dados el punto $P(1, 2, -1)$ y el plano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 2 = 0$, sea $S$ la esfera que es tangente al plano $\pi$ en un punto $P'$ de modo que el segmento $PP'$ es uno de sus diámetros. Se pide: a) (1 punto) Hallar el punto de tangencia $P'$. b) (1 punto) Hallar la ecuación de $S$.

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos. a) (0,5 puntos) Estudiar el crecimiento de la función $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3$. b) (1,5 puntos) Demostrar que la ecuación $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 = 0$ tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga.

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: $$f(x) = \frac{4}{x - 4} + \frac{27}{2x + 2}$$ se pide: a) (0,75 puntos) Hallar las asíntotas de su gráfica. b) (1,75 puntos) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión. c) (0,5 puntos) Esbozar la gráfica de la función.