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Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. a) (1 punto) Calcular el siguiente límite: $$\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}}}.$$ b) (1 punto) Demostrar que la ecuación $4x^5 + 3x + m = 0$ sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número $m$. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos. Según informa la Asociación Empresarial de Acuicultura de España, durante el año 2016 se comercializaron en España doradas, lubinas y rodaballos por un total de 275.8 millones de euros. En dicho informe figura que se comercializaron un total de 13740 toneladas de doradas y 23440 toneladas de lubinas. En cuanto a los rodaballos, se vendieron 7400 toneladas por un valor de 63.6 millones de euros. Sabiendo que el kilo de dorada fue 11 céntimos más caro que el kilo de lubina, se pide calcular el precio del kilo de cada uno de los tres tipos de pescado anteriores.

**Pregunta 4.2.** Sean $A$ y $B$ dos sucesos en un espacio muestral, $\overline A$ y $\overline B$ los correspondientes sucesos complementarios. Se sabe que $P(A)=0.7$, $P(\overline B)=0.2$ y $P(\overline A\cap\overline B)=0.1$. a) *(0.5 puntos)* Razone si $\overline A$ y $\overline B$ son dos sucesos independientes. b) *(1 punto)* Calcule $P(A\cap B)$. c) *(1 punto)* Calcule $P(\overline A\mid B)$.

Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos. Dadas las rectas $r_1 \equiv \begin{cases} 6x - y - z = 1, \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$ y $r_2 \equiv \begin{cases} 3x - 5y - 2z = 3, \\ 3x + y + 4z = 3, \end{cases}$ se pide: a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de $r_1$ y $r_2$. b) (1 punto) Calcular la distancia entre las dos rectas. c) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y al punto $P(1, 2, 3)$.

Dadas las rectas: $$r_1 \equiv \begin{cases} y = 1 , \\ z = 3 , \end{cases} \quad r_2 \equiv \begin{cases} x = 0 , \\ y - z = 0 , \end{cases}$$ se pide: a) (2 puntos) Hallar la ecuación de la recta $t$ que corta a $r_1$ y $r_2$ y es perpendicular a ambas. b) (1 punto) Hallar la mínima distancia entre $r_1$ y $r_2$.

Pregunta 2.1. Sean las funciones: $f(x)=\dfrac{e}{e^x-e}$, $g(x)=\dfrac{1}{x-1}$. a) (1 punto) Calcule el límite $\displaystyle \lim_{x\to 1}\big(f(x)-g(x)\big)$. b) (0,75 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ en su dominio. c) (0,75 puntos) Estudie las asíntotas de la función $g(x)+g(-x)$.

Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Calcular las siguientes integrales: a) (1 punto) $\int \frac{x - 3}{x^2 + 9} dx.$ b) (1 punto) $\int_{1}^{2} \frac{3 - x^2 + x^4}{x^3} dx.$