Cálculo de límites y aplicación de los teoremas de Bolzano y Rolle

**a) (1 punto) Calcular el siguiente límite: $$\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}}}.$$** Observamos que si evaluamos directamente, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Para resolverla, podemos introducir el numerador dentro de la raíz del denominador o viceversa, ya que ambas son raíces cuadradas. Utilizamos la propiedad $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$: $$\lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}}} = \lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}}.$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas un cociente de raíces con el mismo índice, es mucho más sencillo trabajar con una única raíz que englobe a toda la fracción.

Ahora calculamos el límite del radicando (lo que está dentro de la raíz). Para resolver la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, dividimos tanto el numerador como el denominador por la mayor potencia de $x$ presente, que en este caso es $x^1$: $$\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{x + \sqrt{x}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}.$$ Como $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$, el límite del radicando es: $$\frac{1}{1 + 0} = 1.$$ Finalmente, aplicamos la raíz cuadrada al resultado: $$\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}} = \sqrt{1} = 1.$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{1}$$

**b) (1 punto) Demostrar que la ecuación $4x^5 + 3x + m = 0$ sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número $m$. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.** Sea $f(x) = 4x^5 + 3x + m$. Esta función es polinómica, por lo que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Para demostrar que existe **al menos una** raíz real, estudiamos el comportamiento de la función en el infinito: 1. $\lim_{x \to -\infty} (4x^5 + 3x + m) = -\infty$ 2. $\lim_{x \to +\infty} (4x^5 + 3x + m) = +\infty$ Al existir valores de $x$ donde la función es negativa y valores donde es positiva, por el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un valor $c \in \mathbb{R}$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano dice que si una función es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Para demostrar que la raíz es **única**, estudiaremos la derivada de la función: $$f'(x) = 20x^4 + 3.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: - Sabemos que $x^4 \ge 0$ para cualquier número real $x$. - Por tanto, $20x^4 \ge 0$. - Al sumar $3$, tenemos que $f'(x) = 20x^4 + 3 \ge 3 > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Como la derivada es estrictamente positiva en todo su dominio ($f'(x) > 0$), la función $f(x)$ es **estrictamente creciente** en todo $\mathbb{R}$. Una función que es siempre creciente solo puede cortar al eje $X$ en un único punto. *Nota alternativa (Teorema de Rolle):* Si suponemos que existen dos raíces distintas $x_1$ y $x_2$, por el **Teorema de Rolle** debería existir un punto intermedio donde $f'(x) = 0$. Como hemos visto que $f'(x)$ nunca es cero, es imposible que existan dos raíces. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{La ecuación tiene una única raíz real por Bolzano y crecimiento estricto (o Rolle)}}$$