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Ejercicio 1.- Dados los números reales $a, b, c, d$, se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Pruebe que el polinomio $p(x) = \det(A - xI_2)$ es $p(x) = x^2 - \text{traza}(A)x + \det(A)$. (2,5 puntos) Nota: $\text{traza}(A)$ es la suma de los elementos de la diagonal de $A$.

1. Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} x & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}, x \in \mathbb{R}$ a) Estudia para qué valores de $x$ se cumple $A^3 - I = O$ ($I$ matriz identidad y $O$ matriz nula). (1 punto) b) Calcula $A^{12}$ para los valores de $x$ que verifican la condición anterior. (0.75 puntos) c) Para $x = 0$ y sabiendo que ese valor verifica la condición del primer apartado, calcula, si existe, la inversa de $A$. (0.75 puntos)

Bloque 4. Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera la función $f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2 - 3ax - 6}{x - 3}, & \text{si } x \lt 3, \\ x^2 - 1, & \text{si } x \ge 3. \end{cases}$ Determine los valores de $a$ para los que la función es continua. (2.5 puntos)

Para resolver este problema, primero podemos simplificar la función dada utilizando una identidad trigonométrica conocida: $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos(\theta)$. Por lo tanto, la función es: $$f(x) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \cos(2x)$$ ### (a) Calcula una primitiva que pase por el punto $(0, 1)$. ### (b) Calcula el área limitada por $f$, el eje X y las rectas $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$.

Bloque 6. Sea $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3}$. a) Determine el dominio de definición, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos, mínimos y puntos de inflexión. (1.25 puntos). b) Halle las asíntotas y represente aproximadamente la gráfica de la función. (1.25 puntos).

Sea la función $f : \mathbb{R} o \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \begin{cases} 4 & \text{si } x = 0 \\ \frac{m(e^x - 1)}{x} & \text{si } x \neq 0 \end{cases}$ donde $m \in \mathbb{R}$. a) Calcule $m$ para que la función sea continua en $x = 0$. (1.25 puntos) b) Para el valor de $m$ calculado estudie, usando la definición de derivada, si la función $f$ es derivable en $x = 0$. (1.25 puntos)

BLOQUE 3.A Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 1)$ y $B = (2, 1, 2)$ y $s$ la recta $s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{1}$. (a) (0.75 puntos) Indica la posición relativa de $r$ y $s$. (b) (0.75 puntos) Calcula un plano paralelo a $r$ y que contiene a $s$. (c) (1 punto) Calcula la distancia entre las rectas $r$ y $s$.

Ejercicio 2.- Halle una ecuación del plano que pasa por el punto $(1, 1, 1)$ y es paralelo a las rectas $r: \begin{cases} 3x + y = 0 \\ 4x + z = 0 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x - y = 2 \\ y - z = -3 \end{cases}$. (2,5 puntos)

Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el $60 \%$ de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el $1.6 \%$ de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B sólo el $0.9 \%$ son defectuosas. Se toma una caja al azar: (a) (**1.25 punto**) Calcula la probabilidad de que la caja sea defectuosa. (b) (**1.25 puntos**) Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A.

En un espacio muestral se tienen dos sucesos independientes: $A$ y $B$. Se conocen las siguientes probabilidades: $p(A \setminus B) = 0.3$ y $p(A/B) = 0.5$. Calcula: a) $p(A)$ y $p(B)$. (1 punto) b) $p(A \cup B)$ y $p(B/A)$. (1 punto) c) La probabilidad de que no ocurra ni el suceso $A$ ni el suceso $B$. (0.5 puntos)