Generador de Exámenes

1. Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{pmatrix}$ donde $x$ es un número real. Halla: a) Los valores de $x$ para los que la matriz $A$ posea inversa. (1 punto) b) La inversa de $A$ para $x = 2$. (1 punto) c) Con $x = 5$, el valor de $b \in \mathbb{R}$ para que la matriz $b \cdot A$ tenga determinante 1. (0.5 puntos)

Bloque 2. Sea considera el sistema $\begin{cases} 2y + az = a \\ (a - 2)x + y + 3z = 0 \\ (a - 1)y = 1 - a \end{cases}$. a) Estudie el sistema, según los valores de $a \in \mathbb{R}$. (1.5 puntos) b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. (1 punto)

Considere la función $f(x) = \frac{1}{2} - \text{sen}(x)$. a) Dibuje el recinto acotado comprendido entre la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$. (1,25 puntos) b) Calcule el área del recinto anterior. (1,25 puntos)

Ejercicio 4.- Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por: $f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x \le 0 \\ (x-2)^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$ a) Dibuje la gráfica de la función. (1 punto) b) Halle el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas. (1.5 puntos)

Ejercicio 4.- a) Calcule la función $f(x)$ sabiendo que su derivada es $f'(x) = (x-1) e^x$ y que $f(2) = e$. (1.5 puntos) b) Demuestre que $f(x)$ tiene un extremo relativo en un punto del eje de abscisas y razone si es máximo o mínimo. (1 punto)

2. Dada la función $f(x) = \frac{e^{-x}}{x + 1}$ a) Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas. (1 punto) b) Halla, si existen: máximos y mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto) c) Haz un esbozo de su gráfica. (0.5 puntos)

3. Dados los puntos $A(1, 2, 0), B(-1, 1, 1), C(0, 0, 1), D(4, 1, 3)$. Determina: a) Si los cuatro puntos son coplanarios. (0.75 puntos) b) La recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene los puntos $A, B, C$. (1 punto) c) El punto de corte de la recta $r$ con el plano $\pi$. (0.75 puntos)

Sea el tetraedro de la figura formado por $A(3, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 6)$ y $D(\alpha, 3, 1)$. Calcula: a) El área del triángulo limitado por los puntos $A, B$ y $C$. (0.5 puntos) b) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por los puntos $A, B$ y $C$. (0.75 puntos) c) El valor de $\alpha$ para que el vector $\overrightarrow{AD}$ sea perpendicular al plano $\pi$ anterior. (0.75 puntos) d) Para $\alpha = 5$, el punto $D'$ simétrico de $D$ respecto al plano $\pi$. (0.5 puntos)

BLOQUE 4.A En una oficina del ayuntamiento se asigna un número a cada persona que entra. Se observa que el 70 % de las personas que entran son mujeres. El 40 % de los hombres y el 30 % de las mujeres que entran son menores de 30 años. (a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 30 años. (b) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 30 años? (c) (1.25 puntos) Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 30 años ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

En un espacio muestral se tienen dos sucesos independientes: $A$ y $B$. Se conocen las siguientes probabilidades: $p(A \setminus B) = 0.3$ y $p(A/B) = 0.5$. Calcula: a) $p(A)$ y $p(B)$. (1 punto) b) $p(A \cup B)$ y $p(B/A)$. (1 punto) c) La probabilidad de que no ocurra ni el suceso $A$ ni el suceso $B$. (0.5 puntos)