Generador de Exámenes

Opción B Ejercicio 1.- Dado el sistema $\begin{cases} x + ay - z = 1+a \\ x + y - az = 2 \\ x - y - z = a \end{cases}$ a) Estudie su compatibilidad según los valores de $a$. (1.5 puntos) b) Resuélvalo cuando el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)

Opción B Ejercicio 1.- Calcule los números $a, b$ y $c$ para que la curva de ecuación $y = ax^3 + bx^2 + cx + 4$ pase por los puntos $(1,10), (-1,2)$ y $(2,26)$. Demuestre que la curva es única. Escriba dicha curva. (2.5 puntos)

Ejercicio 3.- El perímetro de una cara lateral de un prisma recto de base cuadrada es de 60 centímetros. Calcule sus dimensiones de forma que su volumen sea máximo. (2.5 puntos)

2. Se tienen $20 \text{ m}$ de marco metálico para construir una valla publicitaria rectangular. El terreno donde se quiere instalar la valla es fangoso y al colocarla se hunde una altura $h$ que es la quinta parte de la anchura de la valla. Calcula las medidas de la valla de forma que el área visible (la sombreada en la figura) sea la máxima posible. (2.5 puntos) ![diagrama_valla]

Ejercicio 3.- Calcule: a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9+x} - \sqrt{9-x}}{9x}$. (1.25 puntos) b) $\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} \right)^{\tan(x)}$. (1.25 puntos) Nota: tan = tangente.

2. Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x - 4}$ a) Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas. (1 punto) b) Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión. Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. (1 punto) c) Haz un esbozo de su gráfica. (0.5 puntos)

Ejercicio 2.- Sea el punto $A= (1,-2,0)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x - 2y + z + 3 = 0 \\ y + 2z - 4 = 0 \end{cases}$. Halle la ecuación del plano que pasa por el punto $A$ y contiene a la recta $r$. (2.5 puntos)

Considere la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$. a) Obtenga el punto $P'$ simétrico de $P(1,2,1)$ respecto de $r$. (1 punto) b) Halle la distancia de $P$ a $r$. (0,75 puntos) c) Halle la distancia de $P$ a $P'$. (0,75 puntos)

4. Las calificaciones de un examen en una clase siguen una distribución normal de media $\mu = 20$ y desviación típica $\sigma = 10$. Calcula: a) La probabilidad de que un alumno obtenga una calificación entre 15 y 25. (1.25 puntos) b) La calificación que sólo superan o igualan el $20 \%$ de los alumnos. (1.25 puntos) Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x) = P(Z \le x), F(-0.8416) = 0.2, F(0.8416) = 0.8, F(0.4) = 0.6554, F(0.5) = 0.6915, F(0.6) = 0.7257$

En una empresa de telecomunicaciones, el tiempo que tarda un cliente en resolver un problema llamando a atención al cliente sigue una distribución normal con media $\mu = 30$ minutos y desviación típica $\sigma = 5$ minutos. (a) **(0.75 puntos)** ¿Cual es la probabilidad de que un cliente tarde entre 25 y 30 minutos en resolver su problema? (b) **(0.75 puntos)** Un cliente decide que si tarda más de 20 minutos en su resolución, cambiará de empresa ¿cuál es la probabilidad de que cambie? (c) **(1 punto)** La empresa hace cambios en la gestión de atención al cliente obteniendo que la probabilidad de que se tarde menos de 20 minutos es 0.7. Si se mantiene la desviación típica ¿se ha mejorado el tiempo de resolucion medio o por el contrario el cambio no ha sido positivo?