Probabilidad y sucesos independientes

**a) $p(A)$ y $p(B)$. (1 punto)** El enunciado indica que los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**. Una de las propiedades fundamentales de la independencia es que la probabilidad de que ocurra un suceso no se ve afectada por la ocurrencia del otro. Por definición de probabilidad condicionada e independencia: $$p(A/B) = p(A)$$ Como el enunciado nos da $p(A/B) = 0.5$, deducimos directamente: $$\boxed{p(A) = 0.5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $A$ y $B$ son independientes, entonces $p(A/B) = p(A)$ y $p(B/A) = p(B)$. También se cumple que $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B)$.

Utilizamos el dato $p(A \setminus B) = 0.3$. La probabilidad de la diferencia de sucesos se define como: $$p(A \setminus B) = p(A) - p(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos para hallar la intersección: $$0.3 = 0.5 - p(A \cap B)$$ $$p(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$$ Ahora, usando de nuevo la propiedad de independencia $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B)$: $$0.2 = 0.5 \cdot p(B)$$ Despejamos $p(B)$: $$p(B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{p(A) = 0.5, \quad p(B) = 0.4}$$

Para visualizar mejor los datos obtenidos hasta ahora, podemos organizar las probabilidades en una tabla: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ \bar{A} & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ \hline \text{Total} & 0.4 & 0.6 & 1.0 \end{array}$$ Donde $p(A \cap B) = 0.2$ y $p(A \cap \bar{B}) = p(A \setminus B) = 0.3$.

**b) $p(A \cup B)$ y $p(B/A)$. (1 punto)** Para la probabilidad de la unión de dos sucesos, utilizamos la fórmula general: $$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$p(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$$ Para calcular $p(B/A)$, dado que los sucesos son independientes, sabemos por propiedad que: $$p(B/A) = p(B) = 0.4$$ También se puede calcular formalmente: $$p(B/A) = \frac{p(B \cap A)}{p(A)} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{p(A \cup B) = 0.7, \quad p(B/A) = 0.4}$$

**c) La probabilidad de que no ocurra ni el suceso $A$ ni el suceso $B$. (0.5 puntos)** La probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$ se expresa como $p(\bar{A} \cap \bar{B})$. Según las **Leyes de De Morgan**: $$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$$ Por lo tanto: $$p(\bar{A} \cap \bar{B}) = p(\overline{A \cup B}) = 1 - p(A \cup B)$$ Sustituyendo el valor de la unión calculado en el apartado anterior: $$p(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.7 = 0.3$$ 💡 **Tip:** No confundas "que no ocurra ni A ni B" (intersección de contrarios) con "que no ocurra la unión" (contrario de la unión); aunque por De Morgan sabemos que son el mismo valor. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{p(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.3}$$