Estudio de asíntotas y monotonía de una función racional

**a) [1,25 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$.** Antes de calcular las asíntotas, es muy útil simplificar la expresión de la función factorizando el numerador y el denominador: - Numerador: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ - Denominador: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ La función queda: $$f(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$$ Para $x \neq -1$, podemos simplificar el factor $(x+1)$: $$f(x) = \frac{x - 3}{x - 1} \quad \text{si } x \neq 1, -1$$ El dominio de la función es $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Los puntos candidatos a tener asíntotas verticales son $x = 1$ y $x = -1$. 💡 **Tip:** Simplificar la función al principio facilita enormemente el cálculo de límites y derivadas posteriores.

Analizamos los límites en los puntos donde se anula el denominador: **Para $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-2}{0} = \infty$$ Estudiamos los límites laterales: - $\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$ Por tanto, existe una **asíntota vertical en $x = 1$**. **Para $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-4}{-2} = 2$$ Al ser el límite un valor finito, **no hay asíntota vertical en $x = -1$**. La función presenta en ese punto una discontinuidad evitable (un "punto vacío" o "hueco" en la gráfica). ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$$ Como el límite es un número real finito, existe una **asíntota horizontal en $y = 1$** tanto por la derecha como por la izquierda. Al existir asíntota horizontal, podemos afirmar que **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = 1, \quad \text{AH: } y = 1, \quad \text{AO: No hay}}$$

**b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Utilizamos la expresión simplificada $f(x) = \frac{x - 3}{x - 1}$ para derivar más fácilmente (recordando que $x \neq -1$): $$f'(x) = \frac{(x - 3)'(x - 1) - (x - 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x - 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x + 3}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2}{(x - 1)^2}$$ Para hallar los intervalos de monotonía, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ y los puntos de discontinuidad. Como el numerador es $2 \neq 0$, la derivada nunca se anula. No existen puntos críticos. 💡 **Tip:** La derivada de una función racional simplificada del tipo $\frac{ax+b}{cx+d}$ siempre tiene un signo constante en sus intervalos de continuidad.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{2}{(x - 1)^2}$ en los intervalos definidos por el dominio: Observamos que $(x - 1)^2 \gt 0$ para todo $x \neq 1$, y el numerador es $2 \gt 0$. Por tanto, $f'(x) \gt 0$ para todo $x$ perteneciente al dominio de $f$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & \nexists & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$ La función es estrictamente creciente en cada uno de los intervalos de su dominio. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Decreciente en: } \emptyset}$$

**c) [0,5 puntos] ¿Es creciente $f$ en el conjunto $(-1, 1) \cup (1, +\infty)$? Justifica tu respuesta.** **No**, la función no es creciente en la unión de esos dos intervalos. Para que una función sea creciente en un conjunto $A$, se debe cumplir que para cualesquiera $x_1, x_2 \in A$, si $x_1 \lt x_2$, entonces $f(x_1) \lt f(x_2)$. Tomemos un contraejemplo: 1. Sea $x_1 = 0$, que pertenece al intervalo $(-1, 1)$. Calculamos su imagen: $f(0) = \frac{0 - 3}{0 - 1} = 3$. 2. Sea $x_2 = 2$, que pertenece al intervalo $(1, +\infty)$. Calculamos su imagen: $f(2) = \frac{2 - 3}{2 - 1} = -1$. Aunque $0 \lt 2$, se cumple que $f(0) \gt f(2)$ (ya que $3 \gt -1$), por lo que la función **decrece** al pasar de un intervalo al otro debido al salto en la asíntota vertical. 💡 **Tip:** El signo de la derivada solo garantiza crecimiento local en intervalos conexos. No se puede asegurar el crecimiento en la unión de intervalos separados por una asíntota sin comprobar los valores. ✅ **Resultado (Justificación):** $$\boxed{\text{No, pues existen } x_1 < x_2 \text{ tales que } f(x_1) > f(x_2), \text{ ej: } f(0)=3 \text{ y } f(2)=-1}$$