Primitivas y cálculo integral con parámetros

**a) [1,25 puntos] Determina el valor de $a$ para que exista una primitiva de $f(x)$ cuya gráfica pase por los puntos (0,0) y ($a, e + 1$). Calcula dicha primitiva.** Primero, calculamos la integral indefinida de $f(x)$ para obtener la familia de todas sus primitivas: $$F(x) = \int (e^{x/a} + 2) \, dx$$ Separamos la integral en dos partes: $$F(x) = \int e^{x/a} \, dx + \int 2 \, dx$$ Para la primera integral, realizamos un ajuste de constantes (o cambio de variable inmediato), recordando que $\int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. En este caso $k = 1/a$: $$F(x) = a e^{x/a} + 2x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si tienes una función de la forma $e^{f(x)}$, su integral inmediata requiere tener la derivada $f'(x)$ multiplicando. Aquí, $(x/a)' = 1/a$, por lo que multiplicamos y dividimos por $a$ para completar la derivada.

La primitiva debe pasar por $(0,0)$, lo que significa que $F(0) = 0$: $$F(0) = a e^{0/a} + 2(0) + C = 0 \implies a \cdot 1 + 0 + C = 0 \implies C = -a$$ Sustituyendo $C$, la función es $F(x) = a e^{x/a} + 2x - a$. Ahora aplicamos la segunda condición: la gráfica pasa por $(a, e+1)$, es decir, $F(a) = e + 1$: $$F(a) = a e^{a/a} + 2a - a = e + 1$$ $$a e^1 + a = e + 1$$ $$a(e + 1) = e + 1$$ Como $a > 0$ y $e+1 \neq 0$, podemos despejar $a$ dividiendo ambos miembros por $(e+1)$: $$a = \frac{e+1}{e+1} = 1$$ Finalmente, sustituimos $a=1$ en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = 1 \cdot e^{x/1} + 2x - 1 = e^x + 2x - 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad F(x) = e^x + 2x - 1}$$

**b) [0,5 puntos] Si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, justifica si es posible o no que la función $G(x) = F(x) + x^2$ también lo sea.** Por definición, si $G(x)$ es una primitiva de $f(x)$, se debe cumplir que $G'(x) = f(x)$. Calculamos la derivada de $G(x)$: $$G'(x) = \frac{d}{dx} [F(x) + x^2] = F'(x) + 2x$$ Como sabemos que $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, entonces $F'(x) = f(x)$. Sustituimos: $$G'(x) = f(x) + 2x$$ Para que $G(x)$ sea primitiva de $f(x)$, debería ocurrir que $G'(x) = f(x)$, lo que implicaría: $$f(x) + 2x = f(x) \implies 2x = 0$$ Esto solo es cierto para el punto $x = 0$, pero no para todo el dominio de la función. Otra forma de justificarlo es recordar que **dos primitivas de una misma función solo pueden diferenciarse en una constante real** ($C \in \mathbb{R}$). Dado que $x^2$ no es una constante, $G(x)$ no puede ser una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es posible, pues dos primitivas deben diferir en una constante y } x^2 \text{ no lo es.}}$$

**c) [0,75 puntos] Calcula $a$ para que $\int_{0}^{a} f(x) dx = e$.** Utilizamos la Regla de Barrow. Ya conocemos una primitiva de $f(x)$, que es $H(x) = a e^{x/a} + 2x$ (podemos ignorar la constante $C$ para integrales definidas). $$\int_{0}^{a} (e^{x/a} + 2) \, dx = [a e^{x/a} + 2x]_0^a$$ Aplicamos los límites de integración: $$(a e^{a/a} + 2a) - (a e^{0/a} + 2(0)) = e$$ $$(ae + 2a) - (a \cdot 1 + 0) = e$$ $$ae + 2a - a = e$$ $$ae + a = e$$ Factorizamos $a$: $$a(e + 1) = e$$ Despejamos $a$: $$a = \frac{e}{e+1}$$ Como el enunciado indicaba que $a > 0$, y tanto $e$ como $e+1$ son positivos, el valor obtenido es válido. 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es cualquier primitiva de $f$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{e}{e+1}}$$