Rectas tangentes desde el origen a una parábola

**Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^2 + 4x + 3$. Encuentra los valores del parámetro $a$ para los que la recta que pasa por el origen $y = ax$ es tangente a la gráfica de $f$. ¿Cuál es la abscisa de los puntos de tangencia?** Para que la recta $y = ax$ sea tangente a la curva $f(x) = x^2 + 4x + 3$ en un punto de abscisa $x_0$, deben cumplirse simultáneamente dos condiciones en dicho punto: 1. **Punto común:** La función y la recta deben pasar por el mismo punto, es decir, $f(x_0) = y(x_0)$. 2. **Misma pendiente:** La derivada de la función en ese punto debe coincidir con la pendiente de la recta, es decir, $f'(x_0) = a$. Calculamos primero la derivada de $f(x)$: $$f'(x) = 2x + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en dicho punto.

Aplicamos las condiciones anteriores en el punto de tangencia $x_0$: 1. Igualamos las ordenadas: $$x_0^2 + 4x_0 + 3 = a \cdot x_0$$ 2. Igualamos las pendientes: $$2x_0 + 4 = a$$ Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x_0$ y $a$): $$\begin{cases} x_0^2 + 4x_0 + 3 = a x_0 \\ 2x_0 + 4 = a \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al buscar tangencias desde un punto exterior (en este caso el origen $(0,0)$), el valor de la pendiente $a$ suele depender de la posición del punto de tangencia $x_0$.

Sustituimos el valor de $a$ de la segunda ecuación en la primera: $$x_0^2 + 4x_0 + 3 = (2x_0 + 4) \cdot x_0$$ Desarrollamos el producto en el segundo miembro: $$x_0^2 + 4x_0 + 3 = 2x_0^2 + 4x_0$$ Simplificamos restando $4x_0$ en ambos lados y agrupando los términos cuadráticos: $$3 = 2x_0^2 - x_0^2$$ $$x_0^2 = 3$$ Calculamos las raíces cuadradas para obtener las abscisas de los puntos de tangencia: $$x_0 = \pm \sqrt{3}$$ Las abscisas de los puntos de tangencia son: $$\boxed{x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3}}$$

Para hallar los valores de $a$, sustituimos las abscisas encontradas en la expresión $a = 2x_0 + 4$: - Para $x_1 = \sqrt{3}$: $$a_1 = 2\sqrt{3} + 4$$ - Para $x_2 = -\sqrt{3}$: $$a_2 = 2(-\sqrt{3}) + 4 = 4 - 2\sqrt{3}$$ ✅ **Resultado final:** Los valores del parámetro $a$ son **$4 + 2\sqrt{3}$** y **$4 - 2\sqrt{3}$**. Las abscisas de los puntos de tangencia son **$\sqrt{3}$** y **$-\sqrt{3}$** respectivamente. $$\boxed{a = 4 \pm 2\sqrt{3}}$$