Integral definida: acotación y cálculo por partes

**a) [1 punto] Sin efectuar el cálculo de la integral razona, explica y justifica por qué $0 \lt \int_{0}^{3} x^2 e^{-x} dx \lt 2$.** Primero justificamos que la integral es estrictamente mayor que cero. Analizamos el signo de la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ en el intervalo $[0, 3]$: - El término $x^2$ es siempre mayor o igual a cero ($x^2 \ge 0$) para cualquier $x \in [0, 3]$. - El término exponencial $e^{-x}$ es siempre estrictamente positivo ($e^{-x} \gt 0$) para todo $x \in \mathbb{R}$. Como $f(x)$ es el producto de dos funciones no negativas y no es idénticamente nula en el intervalo (por ejemplo, $f(1) = 1/e \gt 0$), el área encerrada bajo la curva debe ser positiva. $$\text{Si } f(x) \ge 0 \text{ y } f(x) \not\equiv 0 \implies \int_{a}^{b} f(x) dx \gt 0.$$ ✅ **Resultado (cota inferior):** $$\boxed{\int_{0}^{3} x^2 e^{-x} dx \gt 0}$$

Para justificar que la integral es menor que $2$, buscaremos el valor máximo absoluto de $f(x)$ en el intervalo $[0, 3]$. Calculamos la derivada: $$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x} = x(2-x)e^{-x}.$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$x(2-x)e^{-x} = 0 \implies x=0, \quad x=2.$$ Evaluamos la función en los extremos y en el punto crítico interior: - $f(0) = 0^2 e^0 = 0.$ - $f(2) = 2^2 e^{-2} = \dfrac{4}{e^2} \approx \dfrac{4}{7,389} \approx 0,541.$ - $f(3) = 3^2 e^{-3} = \dfrac{9}{e^3} \approx \dfrac{9}{20,085} \approx 0,448.$ El máximo absoluto de la función en el intervalo es $M = \dfrac{4}{e^2}$. Por la propiedad de acotación de la integral: $$\int_{a}^{b} f(x) dx \le M \cdot (b - a).$$ $$\int_{0}^{3} x^2 e^{-x} dx \le \frac{4}{e^2} \cdot (3 - 0) = \frac{12}{e^2}.$$ Como $e \gt 2,7$, entonces $e^2 \gt 7,29$. Por tanto: $$\frac{12}{e^2} \lt \frac{12}{7,29} \approx 1,646 \lt 2.$$ ✅ **Resultado (cota superior):** $$\boxed{\int_{0}^{3} x^2 e^{-x} dx \lt 2}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula el valor exacto de $\int_{0}^{3} x^2 e^{-x} dx$.** Resolvemos la integral indefinida $\int x^2 e^{-x} dx$ usando el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula: $$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) 2x \, dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx.$$

Aplicamos de nuevo integración por partes para resolver $\int x e^{-x} dx$: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = -e^{-x}$ Sustituimos: $$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.$$ Ahora sustituimos este resultado en la expresión general: $$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} - e^{-x}) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C.$$ $$\boxed{F(x) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}$$

Para hallar el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 3]$, aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{0}^{3} x^2 e^{-x} dx = [F(x)]_0^3 = F(3) - F(0).$$ Calculamos los valores: - $F(3) = -e^{-3}(3^2 + 2(3) + 2) = -e^{-3}(9 + 6 + 2) = -17 e^{-3} = -\dfrac{17}{e^3}.$ - $F(0) = -e^{0}(0^2 + 2(0) + 2) = -1(2) = -2.$ Operamos: $$\int_{0}^{3} x^2 e^{-x} dx = \left( -\frac{17}{e^3} \right) - (-2) = 2 - \frac{17}{e^3}.$$ 💡 **Tip:** El valor aproximado es $2 - 17/20,085 \approx 1,153$, lo cual es coherente con la justificación del apartado a) ($0 \lt 1,153 \lt 2$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2 - \dfrac{17}{e^3}}$$