Cálculo de límites y su interpretación gráfica

**a) [1,25 puntos] Calcula $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. Interpreta gráficamente el resultado.** Primero evaluamos el límite de la función $f(x) = \frac{x \ln(x)}{x^2 + e^x}$ cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x)}{x^2 + e^x} = \frac{\infty \cdot \infty}{\infty + \infty} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Para resolver esta indeterminación, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: - Numerador: $(x \ln(x))' = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ - Denominador: $(x^2 + e^x)' = 2x + e^x$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 1}{2x + e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital una segunda vez: - Derivada del numerador: $(\ln(x) + 1)' = \frac{1}{x}$ - Derivada del denominador: $(2x + e^x)' = 2 + e^x$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 + e^x} = \frac{0}{\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la exponencial $e^x$ crece mucho más rápido que cualquier potencia $x^n$ o logaritmo $\ln(x)$ cuando $x \to +\infty$. Por jerarquía de infinitos, el resultado debía ser 0. ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$

Como el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$ es una constante real ($L=0$), esto significa que la función tiene una **asíntota horizontal**. La interpretación gráfica es que la gráfica de $f(x)$ se aproxima al eje de abscisas ($OX$) a medida que $x$ se hace muy grande. ✅ **Interpretación:** $$\boxed{\text{La función tiene una asíntota horizontal en } y = 0 \text{ cuando } x \to +\infty}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Interpreta gráficamente el resultado.** Evaluamos el límite cuando $x \to 0^+$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x \ln(x)}{x^2 + e^x}$$ Analizamos el numerador y el denominador por separado: 1. El denominador: $\lim_{x \to 0^+} (x^2 + e^x) = 0^2 + e^0 = 0 + 1 = 1$. 2. El numerador presenta la indeterminación $0 \cdot (-\infty)$: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital al numerador: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} -\frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$ Por tanto, el límite original es: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x \ln(x)}{x^2 + e^x} = \frac{0}{1} = 0$$ 💡 **Tip:** En indeterminaciones del tipo $0 \cdot \infty$, siempre intenta reescribir la expresión como $\frac{\infty}{1/0}$ para poder usar L'Hôpital. ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0}$$

Dado que el límite por la derecha en $x=0$ existe y es un valor finito ($0$), la función no presenta una asíntota vertical en dicho punto. Gráficamente, esto indica que la función **se aproxima al origen de coordenadas $(0,0)$** cuando $x$ tiende a cero por valores positivos, aunque la función no está definida en $x=0$ debido a que el dominio es $(0, +\infty)$. ✅ **Interpretación:** $$\boxed{\text{La gráfica de la función nace en el punto } (0, 0) \text{ (punto abierto)}}$$