Cálculo de parámetros de una función cúbica y estudio de extremos

**a) [2 puntos] Calcula los valores $a, b, c, d$ de la función polinómica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, sabiendo que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de inflexión $(1, 0)$ es $y = 3x - 3$ y que el punto de abscisa $x = 0$ es un extremo relativo.** Primero, calculamos las derivadas de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ya que las condiciones implican la pendiente (primera derivada) y el punto de inflexión (segunda derivada): - $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ - $f''(x) = 6ax + 2b$ Analizamos la información proporcionada para obtener un sistema de ecuaciones: 1. **Pasa por el punto $(1, 0)$:** $f(1) = 0 \implies a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 0 \implies a + b + c + d = 0$ 2. **Punto de inflexión en $x = 1$:** $f''(1) = 0 \implies 6a(1) + 2b = 0 \implies 6a + 2b = 0$ 3. **Recta tangente en $(1, 0)$ es $y = 3x - 3$:** La pendiente de la tangente es $m = 3$. Por tanto, $f'(1) = 3 \implies 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3 \implies 3a + 2b + c = 3$ 4. **Extremo relativo en $x = 0$:** $f'(0) = 0 \implies 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 \implies c = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta $y = mx + n$ es tangente a $f(x)$ en $x=x_0$, entonces $f'(x_0) = m$ y $f(x_0) = y(x_0)$.

Sustituimos el valor de $c = 0$ (obtenido en el paso anterior) en las ecuaciones restantes: De la ecuación (2): $6a + 2b = 0 \implies b = -3a$ Sustituimos $b = -3a$ y $c = 0$ en la ecuación (3): $$3a + 2(-3a) + 0 = 3$$ $$3a - 6a = 3 \implies -3a = 3 \implies a = -1$$ Ahora calculamos $b$ utilizando $a = -1$: $$b = -3(-1) = 3$$ Finalmente, usamos la ecuación (1) para hallar $d$: $$a + b + c + d = 0 \implies -1 + 3 + 0 + d = 0 \implies 2 + d = 0 \implies d = -2$$ Por lo tanto, los valores son: $$\boxed{a = -1, \quad b = 3, \quad c = 0, \quad d = -2}$$ La función es $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$.

A continuación se muestra la representación gráfica de la función calculada $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$ y su recta tangente $y = 3x - 3$ en el punto de inflexión $(1,0)$. Observa cómo en $x=0$ hay un mínimo relativo y en $x=2$ habría un máximo relativo.

**b) [0,5 puntos] Halla dos funciones polinómicas: la primera que tenga un único extremo relativo y la segunda que no contenga ninguno.** 1. **Función con un único extremo relativo:** Cualquier función polinómica de segundo grado (parábola) tiene un único extremo relativo (el vértice). Por ejemplo: $$g(x) = x^2$$ Su derivada es $g'(x) = 2x$. Al igualar a cero, $2x = 0 \implies x = 0$. Como $g''(x) = 2 > 0$, es un mínimo absoluto y relativo. 2. **Función sin extremos relativos:** Una función polinómica de primer grado (una recta no horizontal) no tiene extremos relativos, ya que su derivada es constante y nunca se anula. Por ejemplo: $$h(x) = x$$ Su derivada es $h'(x) = 1$, que nunca es cero. Otra opción sería una cúbica como $h(x) = x^3 + x$, cuya derivada $h'(x) = 3x^2 + 1$ siempre es positiva ($3x^2 + 1 \gt 0$), por lo que no tiene puntos críticos y es siempre creciente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g(x) = x^2 \text{ (un extremo), } h(x) = x \text{ (sin extremos)}}$$ 💡 **Tip:** Las funciones polinómicas de grado impar pueden no tener extremos, pero las de grado par siempre tienen al menos uno (el teorema del valor extremo en intervalos infinitos).