Integral definida y cálculo de áreas con funciones exponenciales

**a) [0,5 puntos] ¿La integral $\int_{-1}^{1} xe^{x^2} dx$ es positiva, negativa o cero? Justifica la respuesta sin calcular la integral.** Para responder sin calcular la integral, analizamos la simetría de la función $f(x) = xe^{x^2}$ en el intervalo de integración $[-1, 1]$. Comprobamos si la función es par o impar: 1. Calculamos $f(-x)$: $$f(-x) = (-x)e^{(-x)^2} = -x e^{x^2}$$ 2. Comparamos con $f(x)$: $$f(-x) = -f(x)$$ Esto significa que la función $f(x)$ es una **función impar**. Geométricamente, las funciones impares son simétricas respecto al origen de coordenadas. 💡 **Tip:** Una función es impar si $f(-x) = -f(x)$. Si una función es impar y el intervalo de integración es simétrico respecto al cero (de $-a$ a $a$), el área situada por encima del eje $X$ se compensa exactamente con la situada por debajo.

Dado que el intervalo de integración $[-1, 1]$ es simétrico respecto al origen y la función es impar, la integral en el intervalo $[-1, 0]$ tendrá el mismo valor absoluto pero signo contrario que la integral en el intervalo $[0, 1]$. Matemáticamente: $$\int_{-1}^{1} xe^{x^2} dx = \int_{-1}^{0} xe^{x^2} dx + \int_{0}^{1} xe^{x^2} dx = -I + I = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La integral es cero por ser } f(x) \text{ una función impar en un intervalo simétrico.}}$$

**b) [2 puntos] Calcula el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de la función $f(x) = xe^{x^2}$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$.** El área $A$ de un recinto limitado por una función $f(x)$, el eje $X$ y las verticales $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral definida del valor absoluto de la función: $$A = \int_{0}^{2} |xe^{x^2}| dx$$ Analizamos el signo de $f(x) = xe^{x^2}$ en el intervalo $[0, 2]$: - El término $e^{x^2}$ es siempre positivo para cualquier $x$. - El término $x$ es mayor o igual a $0$ en el intervalo $[0, 2]$. Por tanto, $f(x) \ge 0$ en todo el intervalo $[0, 2]$, y podemos prescindir del valor absoluto: $$A = \int_{0}^{2} xe^{x^2} dx$$ 💡 **Tip:** Antes de calcular un área, siempre debemos comprobar si la función corta al eje $X$ dentro del intervalo para dividir la integral si fuera necesario.

Buscamos la integral indefinida $I = \int xe^{x^2} dx$. Observamos que la derivada del exponente $x^2$ es $2x$. Tenemos la $x$ fuera, por lo que podemos ajustar la constante para obtener una integral inmediata del tipo $\int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C$. Multiplicamos y dividimos por $2$: $$\int xe^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$ 💡 **Tip:** No es necesario usar cambio de variable si identificas la estructura de la derivada de la función interna.

Aplicamos la Regla de Barrow para calcular el área utilizando la primitiva hallada: $$A = \left[ \frac{1}{2} e^{x^2} \right]_{0}^{2}$$ Calculamos los valores en los extremos: - Para $x = 2$: $\frac{1}{2} e^{2^2} = \frac{1}{2} e^4$ - Para $x = 0$: $\frac{1}{2} e^{0^2} = \frac{1}{2} e^0 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ Restamos los valores: $$A = \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} = \frac{e^4 - 1}{2}$$ El valor numérico aproximado es $\approx 26.799$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{e^4 - 1}{2} \text{ u}^2}$$