Optimización del beneficio empresarial

**a) [2 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento del beneficio y localiza los valores de $x$ en los que se alcanzan máximos y mínimos relativos. Calcula también el valor máximo y mínimo absolutos del beneficio en dicho intervalo.** Para estudiar el crecimiento y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función de beneficio $B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 36$: $$B'(x) = -6x^2 + 30x$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-6x^2 + 30x = 0 \implies -6x(x - 5) = 0$$ Esto nos da dos posibles valores: 1. $x = 0$ 2. $x = 5$ Como el dominio de la función está restringido al intervalo $[0, 8]$, ambos valores son relevantes para nuestro análisis. 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un polinomio usamos la regla $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. La derivada de una constante es siempre 0. $$\boxed{B'(x) = -6x^2 + 30x, \text{ puntos críticos en } x=0, x=5}$$

Analizamos el signo de $B'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 8]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & (0, 5) & 5 & (5, 8) & 8 \\\hline B'(x) & 0 & + & 0 & - & - \\\hline B(x) & 36 & \nearrow & 161 & \searrow & -28 \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 5)$, si tomamos $x=1$: $B'(1) = -6(1)^2 + 30(1) = 24 \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En el intervalo $(5, 8)$, si tomamos $x=6$: $B'(6) = -6(36) + 30(6) = -216 + 180 = -36 \lt 0$, luego la función es **decreciente**. **Extremos relativos:** - En $x = 5$, el beneficio pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - El valor de la función en dicho punto es: $B(5) = -2(5)^3 + 15(5)^2 + 36 = -250 + 375 + 36 = 161$. 💡 **Tip:** Un punto es máximo relativo si la derivada pasa de ser positiva a negativa en ese punto y la función es continua. ✅ **Resultado (Monotonía y relativos):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 5), \text{ Decreciente en } (5, 8). \text{ Máximo relativo en } x=5 \text{ con } B(5)=161}$$

Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[a, b]$, debemos comparar el valor de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos interiores. Evaluamos la función en $x=0$, $x=5$ y $x=8$: - Para $x = 0$: $B(0) = -2(0)^3 + 15(0)^2 + 36 = 36$ mil euros. - Para $x = 5$: $B(5) = 161$ mil euros (ya calculado). - Para $x = 8$: $B(8) = -2(8)^3 + 15(8)^2 + 36 = -2(512) + 15(64) + 36 = -1024 + 960 + 36 = -28$ mil euros. Comparando los valores: - El valor **máximo absoluto** es $161$ (en $x = 5$). - El valor **mínimo absoluto** es $-28$ (en $x = 8$). ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Máximo absoluto: } 161 \text{ (en } x=5\text{), Mínimo absoluto: } -28 \text{ (en } x=8\text{)}}$$

**b) [0,5 puntos] Justifica razonadamente qué decisión tomaría la empresa en función de los resultados y por qué en los problemas de optimización en intervalos cerrados es imprescindible comparar los extremos relativos con los valores en los extremos del intervalo.** **Decisión de la empresa:** La empresa debería decidir vender **5.000 unidades** (ya que $x$ está en miles), pues es el valor que maximiza el beneficio obteniendo un total de **161.000 euros**. A partir de ese punto, el beneficio empieza a disminuir e incluso llega a ser negativo (pérdidas) si se venden 8.000 unidades. **Justificación teórica:** En intervalos cerrados y funciones continuas (Teorema de Weierstrass), el máximo y el mínimo absolutos existen obligatoriamente. Estos pueden encontrarse en: 1. Los puntos donde la derivada es cero (puntos críticos). 2. Los puntos donde la función no es derivable (no aplica aquí). 3. Los **extremos del intervalo**. Es imprescindible comparar porque un máximo relativo en el interior del intervalo puede ser menor que el valor de la función en uno de los extremos, o viceversa, un mínimo absoluto puede estar en un extremo aunque la derivada allí no sea cero. 💡 **Tip:** En este ejercicio, el mínimo absoluto se alcanza en el extremo $x=8$, lo que demuestra que no siempre los extremos coinciden con puntos donde $B'(x)=0$.