Optimización: Suma de áreas de círculo y cuadrado

**a) [2 puntos] ¿Cuáles deben ser las longitudes del radio de la circunferencia y de un lado del cuadrado para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima?** Primero, definimos las variables del problema: - Sea $r$ el radio de la circunferencia (en metros). - Sea $x$ la longitud del lado del cuadrado (en metros). El enunciado nos da una restricción sobre la suma de sus perímetros: - Longitud de la circunferencia: $L = 2\pi r$ - Perímetro del cuadrado: $P = 4x$ La suma es 10 metros: $$2\pi r + 4x = 10$$ Podemos simplificar dividiendo entre 2 y despejar una variable (por ejemplo, $x$): $$\pi r + 2x = 5 \implies x = \frac{5 - \pi r}{2}$$ Como las longitudes deben ser positivas, tenemos las restricciones $r \ge 0$ y $x \ge 0$. De $x \ge 0$ obtenemos $5 - \pi r \ge 0 \implies r \le \frac{5}{\pi}$. Por tanto, el dominio de nuestra función será $r \in [0, \frac{5}{\pi}].$

Queremos minimizar la suma de las áreas. Definimos la función objetivo $A$: - Área del círculo: $A_c = \pi r^2$ - Área del cuadrado: $A_{sq} = x^2$ Sustituimos $x$ en función de $r$: $$A(r) = \pi r^2 + \left( \frac{5 - \pi r}{2} \right)^2$$ Desarrollamos la expresión para facilitar la derivación: $$A(r) = \pi r^2 + \frac{25 - 10\pi r + \pi^2 r^2}{4}$$ 💡 **Tip:** No es estrictamente necesario desarrollar todo el binomio, se puede usar la regla de la cadena, pero simplificar ayuda a evitar errores de signos.

Calculamos la primera derivada $A'(r)$ para hallar los puntos críticos: $$A'(r) = 2\pi r + \frac{1}{4}(2\pi^2 r - 10\pi) = 2\pi r + \frac{\pi^2 r}{2} - \frac{5\pi}{2}$$ Igualamos a cero para encontrar el valor de $r$: $$2\pi r + \frac{\pi^2 r}{2} - \frac{5\pi}{2} = 0$$ Multiplicamos por 2 para quitar denominadores: $$4\pi r + \pi^2 r - 5\pi = 0$$ Dividimos entre $\pi$ (ya que $\pi \neq 0$): $$4r + \pi r - 5 = 0 \implies r(4 + \pi) = 5 \implies r = \frac{5}{4 + \pi}$$ El valor crítico es **$r \approx 0,70$ metros**.

Para confirmar que es un mínimo, calculamos la segunda derivada: $$A''(r) = 2\pi + \frac{\pi^2}{2}$$ Como $A''(r) \gt 0$ para cualquier valor de $r$, la función es siempre convexa y el punto crítico hallado es un **mínimo relativo y absoluto** en el intervalo. **Análisis del signo de $A'(r)$:** $$\begin{array}{c|ccc} r & [0, \frac{5}{4+\pi}) & \frac{5}{4+\pi} & (\frac{5}{4+\pi}, \frac{5}{\pi}] \\\hline A'(r) & - & 0 & + \\\hline A(r) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre es necesario justificar mediante la segunda derivada o el estudio del signo de la primera que el valor hallado es efectivamente el extremo pedido.

Calculamos el valor del lado del cuadrado $x$ sustituyendo $r = \frac{5}{4+\pi}$: $$x = \frac{5 - \pi \left( \frac{5}{4+\pi} \right)}{2} = \frac{\frac{5(4+\pi) - 5\pi}{4+\pi}}{2} = \frac{\frac{20 + 5\pi - 5\pi}{4+\pi}}{2} = \frac{20}{2(4+\pi)} = \frac{10}{4+\pi}$$ Notamos que $x = 2r$. ✅ **Resultado (mínimo):** $$\boxed{r = \frac{5}{4+\pi} \approx 0,70 \text{ m}, \quad x = \frac{10}{4+\pi} \approx 1,40 \text{ m}}$$

**b) [0,5 puntos] ¿Es posible determinar las longitudes del radio de la circunferencia y de un lado del cuadrado para que la suma de las áreas sea máxima?** Dado que la función $A(r)$ es una parábola cóncava hacia arriba (convexa) y el dominio es un intervalo cerrado $[0, \frac{5}{\pi}]$, el máximo absoluto debe encontrarse en uno de los extremos del intervalo. Calculamos el área en los extremos: 1. Si **$r = 0$** (todo el hilo para el cuadrado): $x = 2,5 \implies A(0) = 0^2 + 2,5^2 = 6,25 \text{ m}^2$ 2. Si **$r = \frac{5}{\pi}$** (todo el hilo para el círculo): $x = 0 \implies A(\frac{5}{\pi}) = \pi \left( \frac{5}{\pi} \right)^2 = \frac{25}{\pi} \approx 7,96 \text{ m}^2$ Comparando los valores, $7,96 \gt 6,25$. El máximo se alcanza cuando el radio es $5/\pi$ y el lado del cuadrado es 0. ✅ **Resultado (máximo):** $$\boxed{\text{Sí, el área es máxima si } r = \frac{5}{\pi} \text{ m y } x = 0 \text{ m (todo el círculo)}} $$