Cálculo de distancia recorrida mediante integración

**a) [2 puntos] Calcula la distancia total (en metros) que recorre el objeto durante los primeros 8 segundos, sabiendo que la distancia es la integral del valor absoluto de la función velocidad.** La distancia total $D$ recorrida entre $t=0$ y $t=8$ viene dada por la integral: $$D = \int_{0}^{8} |v(t)| \, dt$$ Para eliminar el valor absoluto, estudiamos el signo de $v(t) = \frac{8t - t^2}{(t + 1)^2}$ en el intervalo $[0, 8]$: - El denominador $(t + 1)^2$ es siempre positivo para $t \in [0, 8]$. - El numerador $8t - t^2 = t(8 - t)$ se anula en $t=0$ y $t=8$. - Para cualquier valor intermedio (por ejemplo $t=1$), $v(1) = \frac{8-1}{2^2} = \frac{7}{4} \gt 0$. Como $v(t) \ge 0$ para todo $t \in [0, 8]$, el valor absoluto no es necesario y la distancia es simplemente la integral de la función: $$D = \int_{0}^{8} \frac{8t - t^2}{(t + 1)^2} \, dt$$ 💡 **Tip:** Si la velocidad cambiara de signo, deberíamos dividir la integral en los intervalos donde es positiva y donde es negativa.

Para integrar $v(t) = \frac{-t^2 + 8t}{t^2 + 2t + 1}$, observamos que los grados del numerador y denominador son iguales. Realizamos la división polinómica o manipulamos la expresión: $$\frac{-t^2 + 8t}{t^2 + 2t + 1} = \frac{-(t^2 + 2t + 1) + 10t + 1}{t^2 + 2t + 1} = -1 + \frac{10t + 1}{(t + 1)^2}$$ Ahora descomponemos la fracción restante en fracciones simples: $$\frac{10t + 1}{(t + 1)^2} = \frac{A}{t + 1} + \frac{B}{(t + 1)^2}$$ $$10t + 1 = A(t + 1) + B$$ Si $t = -1 \implies -9 = B$. Si $t = 0 \implies 1 = A + B \implies 1 = A - 9 \implies A = 10$. Por tanto, la función a integrar es: $$v(t) = -1 + \frac{10}{t + 1} - \frac{9}{(t + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Al dividir polinomios, si los grados son iguales, siempre obtendrás una constante más un resto de menor grado.

Calculamos la integral indefinida término a término: $$\int \left( -1 + \frac{10}{t + 1} - 9(t + 1)^{-2} \right) dt = -t + 10 \ln|t + 1| - 9 \frac{(t + 1)^{-1}}{-1}$$ $$\int v(t) \, dt = -t + 10 \ln|t + 1| + \frac{9}{t + 1} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{(t+1)^2} dt$ es de tipo potencia $\int u^n u'$, mientras que $\int \frac{1}{t+1} dt$ es de tipo logarítmico.

Aplicamos la regla de Barrow entre los límites 0 y 8: $$D = \left[ -t + 10 \ln(t + 1) + \frac{9}{t + 1} \right]_{0}^{8}$$ Evaluamos en el límite superior ($t=8$): $$F(8) = -8 + 10 \ln(9) + \frac{9}{9} = -8 + 10 \ln(9) + 1 = 10 \ln(9) - 7$$ Evaluamos en el límite inferior ($t=0$): $$F(0) = -0 + 10 \ln(1) + \frac{9}{1} = 0 + 0 + 9 = 9$$ Restamos los resultados: $$D = (10 \ln(9) - 7) - 9 = 10 \ln(9) - 16 \approx 5,97 \text{ metros}$$ Como $\ln(9) = \ln(3^2) = 2 \ln(3)$: $$D = 20 \ln(3) - 16$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{D = 20 \ln(3) - 16 \text{ metros}}$$

**b) [0,5 puntos] Si el objeto se hubiera movido con una velocidad $w : [0, 8] \rightarrow \mathbb{R}$, con $w(t) > v(t)$ para todo $t \in [0, 8]$, razona sin calcular la integral, si el objeto hubiera recorrido una distancia mayor o menor en los 8 segundos.** Dado que $v(t) \ge 0$ para todo $t \in [0, 8]$, si $w(t) \gt v(t)$, entonces $w(t)$ también es estrictamente positiva en dicho intervalo. La distancia recorrida por el segundo objeto es $D_w = \int_{0}^{8} w(t) \, dt$. Por las propiedades de la integral definida, si comparamos dos funciones donde $w(t) \gt v(t)$ en el intervalo $[a, b]$, entonces: $$\int_{a}^{b} w(t) \, dt \gt \int_{a}^{b} v(t) \, dt$$ Esto se debe a que el área bajo la curva de $w(t)$ contiene al área bajo la curva de $v(t)$ y una región adicional positiva. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El objeto hubiera recorrido una distancia mayor}}$$