Estudio de crecimiento y velocidad de una población de moléculas

**a) [1,5 puntos] Realiza un estudio del crecimiento de dicha función. ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima? ¿En qué momento se alcanzan?** Para estudiar el crecimiento (monotonía) de la función $f(x) = e^{x^2-2x}$ en el intervalo $[0, 5]$, primero calculamos su primera derivada utilizando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{x^2-2x} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = (2x - 2)e^{x^2-2x}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies (2x - 2)e^{x^2-2x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{u}$ siempre es positiva ($e^{x^2-2x} \gt 0$), la única solución posible es: $$2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ El valor $x = 1$ pertenece al dominio dado $[0, 5]$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x) \cdot e^{u(x)}$. La exponencial nunca se anula, lo que facilita encontrar los puntos críticos.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $[0, 5]$, dividiéndolo por el punto crítico $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, 5) \\ \hline 2x-2 & - & 0 & + \\ e^{x^2-2x} & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \text{Decreciente } \searrow & \text{Mínimo} & \text{Creciente } \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo **$(0, 1)$**, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En el intervalo **$(1, 5)$**, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. ✅ **Estudio de crecimiento:** $$\boxed{\text{Decreciente en } [0, 1) \text{ y creciente en } (1, 5]}$$

Para hallar los valores máximos y mínimos en un intervalo cerrado $[0, 5]$, evaluamos la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo: 1. En $x = 1$ (punto crítico): $$f(1) = e^{1^2 - 2(1)} = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0,368$$ 2. En $x = 0$ (extremo izquierdo): $$f(0) = e^{0^2 - 2(0)} = e^0 = 1$$ 3. En $x = 5$ (extremo derecho): $$f(5) = e^{5^2 - 2(5)} = e^{25-10} = e^{15} \approx 3.269.017,37$$ Comparando los valores: - El **mínimo absoluto** se alcanza en $x = 1$ con un valor de $1/e$ miles de moléculas. - El **máximo absoluto** se alcanza en $x = 5$ con un valor de $e^{15}$ miles de moléculas. ✅ **Resultado (Cantidades):** $$\boxed{\text{Mínima: } \frac{1}{e} \text{ mil moléc. en } x=1 \text{ h.}\quad \text{Máxima: } e^{15} \text{ mil moléc. en } x=5 \text{ h.}}$$

**b) [1 punto] ¿Cuál es la velocidad de crecimiento a las 3 horas? ¿Cuál es la velocidad media de crecimiento en el intervalo [0, 5]?** La velocidad de crecimiento instantánea en un momento $t$ viene dada por el valor de la derivada $f'(t)$. Para $x = 3$ horas, usamos la expresión de la derivada hallada anteriormente: $$f'(x) = (2x - 2)e^{x^2-2x}$$ $$f'(3) = (2 \cdot 3 - 2)e^{3^2 - 2 \cdot 3} = (6 - 2)e^{9 - 6} = 4e^3$$ Calculando el valor numérico aproximado: $$f'(3) = 4 \cdot (20,085) \approx 80,34 \text{ miles de moléculas/hora}$$ ✅ **Velocidad a las 3h:** $$\boxed{4e^3 \approx 80,34 \text{ miles de moléculas/hora}}$$

La velocidad media de crecimiento en un intervalo $[a, b]$ coincide con la Tasa de Variación Media (TVM): $$TVM[0, 5] = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0}$$ Sustituimos los valores calculados en el apartado anterior: $$f(5) = e^{15}$$ $$f(0) = 1$$ $$TVM[0, 5] = \frac{e^{15} - 1}{5}$$ Realizando la operación: $$TVM[0, 5] \approx \frac{3.269.017,37 - 1}{5} \approx 653.803,27 \text{ miles de moléculas/hora}$$ 💡 **Tip:** La velocidad media representa el cambio promedio de la función por unidad de tiempo en todo el intervalo. ✅ **Velocidad media:** $$\boxed{\frac{e^{15}-1}{5} \approx 653.803,27 \text{ miles de moléculas/hora}}$$