Análisis 2026 Andalucia
Estudio de la velocidad y trayectoria de un cohete
EJERCICIO 12.
Un cohete de investigación realiza su vuelo con una velocidad representada por la función $v$, medida en kilómetros por segundo. Tras un estudio se ha determinado que la derivada $v'$ de esta función se corresponde con $v'(t) = 24 - 6\sqrt{t + 1}$, donde $t$ representa el tiempo medido en segundos transcurrido desde el lanzamiento. Por otra parte, sabemos que la velocidad inicial es de 15 km/s y que en cuanto empieza a perder velocidad el cohete no se puede controlar. En este momento, lo más conveniente es que se autodestruya y para ello utilizamos un artefacto explosivo que se activa con un temporizador.
a) [1 punto] Si utilizamos el temporalizador para que active la explosión, ¿cuál es el valor máximo de tiempo, en segundos, que tomaría como referencia para destruir el cohete?
b) [1,5 puntos] Obtén la función que determina la velocidad del cohete y la velocidad máxima que alcanza.
Paso 1
Interpretar el enunciado para el tiempo de explosión
**a) [1 punto] Si utilizamos el temporalizador para que active la explosión, ¿cuál es el valor máximo de tiempo, en segundos, que tomaría como referencia para destruir el cohete?**
El enunciado indica que el cohete debe autodestruirse en cuanto **empieza a perder velocidad**. En términos matemáticos, esto ocurre cuando la velocidad empieza a decrecer, es decir, cuando su derivada $v'(t)$ pasa de ser positiva a negativa.
Primero, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero:
$$v'(t) = 24 - 6\sqrt{t + 1} = 0$$
Resolvemos la ecuación:
$$24 = 6\sqrt{t + 1}$$
$$4 = \sqrt{t + 1}$$
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$16 = t + 1 \implies t = 15$$
💡 **Tip:** El signo de la derivada nos indica el crecimiento (si es positiva) o decrecimiento (si es negativa) de la función original.
Paso 2
Estudio del signo de la derivada
Para confirmar que en $t = 15$ el cohete empieza a perder velocidad, estudiamos el signo de $v'(t)$ en los intervalos determinados por el punto crítico, teniendo en cuenta que el tiempo comienza en $t = 0$.
$$\begin{array}{c|ccc}
t & [0, 15) & 15 & (15, +\infty) \\ \hline
v'(t) & + & 0 & - \\
\text{Velocidad} & \text{Aumenta} & \text{Máximo} & \text{Disminuye}
\end{array}$$
- Para $t = 3$: $v'(3) = 24 - 6\sqrt{4} = 24 - 12 = 12 \gt 0$.
- Para $t = 24$: $v'(24) = 24 - 6\sqrt{25} = 24 - 30 = -6 \lt 0$.
El cohete empieza a perder velocidad justo después de los 15 segundos. Por tanto, el valor máximo de tiempo para la explosión es de 15 segundos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{t = 15 \text{ segundos}}$$
Paso 3
Cálculo de la función velocidad mediante integración
**b) [1,5 puntos] Obtén la función que determina la velocidad del cohete y la velocidad máxima que alcanza.**
Para obtener $v(t)$ a partir de $v'(t)$, debemos calcular la integral indefinida:
$$v(t) = \int v'(t) \, dt = \int (24 - 6\sqrt{t + 1}) \, dt$$
Separamos la integral en dos partes:
$$v(t) = \int 24 \, dt - 6 \int (t+1)^{1/2} \, dt$$
Aplicamos la regla de la cadena para potencias (integrales casi inmediatas):
$$v(t) = 24t - 6 \cdot \frac{(t+1)^{3/2}}{3/2} + C$$
$$v(t) = 24t - 4(t+1)^{3/2} + C$$
💡 **Tip:** Recuerda que $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$. En este caso $a=1$.
Paso 4
Determinación de la constante de integración
Utilizamos el dato de la **velocidad inicial**: en el momento del lanzamiento ($t = 0$), la velocidad es $15 \text{ km/s}$.
$$v(0) = 15$$
Sustituimos en nuestra expresión de $v(t)$:
$$15 = 24(0) - 4(0 + 1)^{3/2} + C$$
$$15 = 0 - 4(1) + C$$
$$15 = -4 + C \implies C = 19$$
Por tanto, la función velocidad es:
$$\boxed{v(t) = 24t - 4\sqrt{(t+1)^3} + 19}$$
Paso 5
Cálculo de la velocidad máxima
Como hemos visto en el apartado (a), la velocidad máxima se alcanza en $t = 15$ segundos. Calculamos $v(15)$:
$$v(15) = 24(15) - 4(15 + 1)^{3/2} + 19$$
$$v(15) = 360 - 4(16)^{3/2} + 19$$
Calculamos $(16)^{3/2} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64$:
$$v(15) = 360 - 4(64) + 19$$
$$v(15) = 360 - 256 + 19$$
$$v(15) = 123$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{v_{\text{máx}} = 123 \text{ km/s}}$$