Área entre curvas y densidad de población

Para delimitar la porción de terreno entre el río ($f(x)$) y el camino (eje $OX$, cuya ecuación es $y=0$), debemos encontrar los puntos de intersección resolviendo la ecuación $f(x) = 0$. $$\frac{x^3}{4} - x^2 + x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x \left( \frac{x^2}{4} - x + 1 \right) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $x = 0$ 2. $\frac{x^2}{4} - x + 1 = 0$ Resolvemos la ecuación de segundo grado multiplicando por 4 para simplificar: $$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$$ Los puntos de corte son **$x = 0$** y **$x = 2$** (siendo este último una raíz doble, lo que indica que la función es tangente al eje en ese punto). 💡 **Tip:** Para hallar el área entre una función y el eje $OX$, los límites de integración son las raíces de la función que delimitan la región cerrada.

El área $A$ de la región viene dada por la integral definida de la función entre los puntos de corte. Como en el intervalo $(0, 2)$ la función es positiva (por ejemplo, $f(1) = 1/4 - 1 + 1 = 1/4 > 0$), no es necesario usar valor absoluto: $$A = \int_{0}^{2} \left( \frac{x^3}{4} - x^2 + x \right) dx$$ Calculamos la primitiva término a término: $$\int \left( \frac{x^3}{4} - x^2 + x \right) dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{16} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ \frac{x^4}{16} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^4}{16} - \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} \right) - (0)$$ $$A = \left( \frac{16}{16} - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} \right) = 1 - \frac{8}{3} + 2 = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9-8}{3} = \frac{1}{3} \text{ km}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la unidad de medida es el kilómetro, por lo que el resultado de la integral está en kilómetros cuadrados ($\text{km}^2$). $$\boxed{A = \frac{1}{3} \text{ km}^2}$$

Debemos convertir el área de $\text{km}^2$ a hectáreas (ha). Sabemos que: - $1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \implies 1 \text{ km}^2 = (1000 \text{ m})^2 = 1,000,000 \text{ m}^2$. - $1 \text{ ha} = 10,000 \text{ m}^2$. Por tanto, calculamos cuántas hectáreas hay en un kilómetro cuadrado: $$1 \text{ km}^2 = \frac{1,000,000 \text{ m}^2}{10,000 \text{ m}^2/\text{ha}} = 100 \text{ ha}$$ Ahora convertimos nuestra área $A$: $$A = \frac{1}{3} \text{ km}^2 \cdot 100 \frac{\text{ha}}{\text{km}^2} = \frac{100}{3} \text{ ha} \approx 33,33 \text{ ha}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental realizar el cambio de unidades correctamente antes de aplicar la densidad de plantación.

Dada la densidad de plantación de 150 pinos por hectárea, el número total de pinos $N$ es el producto del área por la densidad: $$N = \text{Área (ha)} \times \text{Densidad (pinos/ha)}$$ $$N = \frac{100}{3} \text{ ha} \times 150 \frac{\text{pinos}}{\text{ha}}$$ Operamos: $$N = 100 \times \frac{150}{3} = 100 \times 50 = 5000 \text{ pinos}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{5000 \text{ pinos}}$$