Cálculo de beneficios a partir de la velocidad de crecimiento

Para encontrar la función de la altura $h(t)$, debemos integrar la función de la velocidad de crecimiento $h'(t)$, ya que la altura es la primitiva de su derivada. Calculamos la integral indefinida: $$h(t) = \int h'(t) \, dt = \int (1,5t + 5) \, dt$$ Integrando término a término: $$h(t) = 1,5 \frac{t^2}{2} + 5t + C = 0,75t^2 + 5t + C$$ Donde $C$ es la constante de integración que determinaremos con las condiciones iniciales. 💡 **Tip:** Recuerda que si conoces la tasa de variación (derivada), la función original se obtiene mediante la integración: $f(x) = \int f'(x) \, dx$.

El enunciado nos indica que cada arbusto mide $12$ cm cuando se planta. Esto significa que en el instante inicial $t = 0$, la altura es $h(0) = 12$. Sustituimos en nuestra función: $$h(0) = 0,75(0)^2 + 5(0) + C = 12$$ $$0 + 0 + C = 12 \implies C = 12$$ Por tanto, la función que describe la altura del arbusto en cualquier año $t$ es: $$\boxed{h(t) = 0,75t^2 + 5t + 12}$$

Primero, calculamos la altura del arbusto al cabo de $6$ años ($t = 6$): $$h(6) = 0,75(6)^2 + 5(6) + 12$$ $$h(6) = 0,75(36) + 30 + 12$$ $$h(6) = 27 + 30 + 12 = 69 \text{ cm}$$ Ahora, utilizamos la fórmula del coste de producción proporcionada, $C(t) = \frac{h(t)}{10}$, para hallar el coste de una unidad a los 6 años: $$C(6) = \frac{h(6)}{10} = \frac{69}{10} = 6,9 \text{ euros por unidad}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de trabajar con las unidades correctas; aquí $h(t)$ está en cm y $C(t)$ resulta en euros.

El beneficio por cada arbusto vendido se calcula restando el coste de producción al precio de venta: $$\text{Beneficio unitario} = \text{Precio de venta} - \text{Coste de producción}$$ $$\text{Beneficio unitario} = 15 - 6,9 = 8,1 \text{ euros}$$ Como se venden $500$ arbustos, el beneficio total será: $$\text{Beneficio total} = 500 \times 8,1 = 4050 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{4050 \text{ euros}}$$