Análisis 2026 Andalucia
Modelos de difusión de bulos y estudio de funciones
Se han realizado varios estudios para determinar el modo en que se transmiten los bulos en cierta red social. Un primer estudio ha establecido que el número (aproximado) de personas $f(t)$ (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función
$$f(t) = \frac{18}{1 + 2^{-t+3}}$$
donde $t$ representa el tiempo (en días).
a) [0,5 puntos] Según este modelo, ¿cuántas personas empiezan a difundir el bulo?
b) [0,75 puntos] A medida que transcurre el tiempo, ¿está limitado el número de personas que conocen el bulo? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?
En un segundo estudio, han simplificado el modelo anterior y han establecido que el número (aproximado) de personas $g(t)$ (expresado en miles) que conocen y difunden un bulo viene dado por la función
$$g(t) = \frac{18}{\pi} \arctan(t - 3) + 9$$
donde $t$ representa el tiempo (en días).
c) [1,25 puntos] Según este segundo modelo, ¿en qué momento empieza a disminuir la velocidad a la que se propaga el bulo? ¿Cuántas personas conocen en dicho momento el bulo?
Paso 1
Cálculo de las personas iniciales
**a) [0,5 puntos] Según este modelo, ¿cuántas personas empiezan a difundir el bulo?**
El momento en que empieza a difundirse el bulo corresponde al tiempo inicial, es decir, $t = 0$. Debemos calcular el valor de la función $f(t)$ para dicho valor:
$$f(0) = \frac{18}{1 + 2^{-0+3}} = \frac{18}{1 + 2^3}$$
Realizamos las operaciones correspondientes:
$$f(0) = \frac{18}{1 + 8} = \frac{18}{9} = 2$$
Como el enunciado indica que $f(t)$ está expresado en miles de personas, el número inicial es $2 \times 1000 = 2000$ personas.
💡 **Tip:** En problemas de contexto temporal, el estado inicial siempre se halla evaluando la función en $t = 0$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{2000 \text{ personas}}$$
Paso 2
Estudio del límite a largo plazo
**b) [0,75 puntos] A medida que transcurre el tiempo, ¿está limitado el número de personas que conocen el bulo? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?**
Para saber si el número de personas está limitado a medida que transcurre el tiempo, debemos calcular el límite de la función cuando $t \to +\infty$:
$$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{18}{1 + 2^{-t+3}}$$
Observamos el comportamiento de la potencia en el denominador:
Cuando $t \to +\infty$, el exponente $(-t + 3) \to -\infty$. Por las propiedades de las funciones exponenciales de base mayor que 1:
$$\lim_{x \to -\infty} 2^x = 0 \implies \lim_{t \to +\infty} 2^{-t+3} = 0$$
Sustituimos este valor en el límite general:
$$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \frac{18}{1 + 0} = 18$$
El número de personas está limitado a 18 (en miles), es decir, 18000 personas. Esto ocurre porque la función tiene una **asíntota horizontal** en $y=18$ por la derecha.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Sí, el límite es de 18000 personas.}}$$
Paso 3
Derivada de la función g(t) (velocidad de propagación)
**c) [1,25 puntos] Según este segundo modelo, ¿en qué momento empieza a disminuir la velocidad a la que se propaga el bulo? ¿Cuántas personas conocen en dicho momento el bulo?**
La "velocidad a la que se propaga el bulo" es la tasa de variación instantánea, es decir, la derivada $g'(t)$. El momento en el que la velocidad empieza a disminuir es el punto donde $g'(t)$ alcanza su máximo, lo cual corresponde matemáticamente a un **punto de inflexión** de $g(t)$.
Primero, calculamos $g'(t)$:
$$g(t) = \frac{18}{\pi} \arctan(t - 3) + 9$$
$$g'(t) = \frac{18}{\pi} \cdot \frac{1}{1 + (t-3)^2}$$
💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\arctan(u)$ es $\frac{u'}{1+u^2}$.
$$\boxed{g'(t) = \frac{18}{\pi(1 + (t-3)^2)}}$$
Paso 4
Estudio de la segunda derivada
Para hallar cuándo cambia la tendencia de la velocidad, calculamos la segunda derivada $g''(t)$ e igualamos a cero:
$$g''(t) = \frac{18}{\pi} \cdot \frac{d}{dt} [(1 + (t-3)^2)^{-1}]$$
$$g''(t) = \frac{18}{\pi} \cdot (-1) \cdot (1 + (t-3)^2)^{-2} \cdot [2(t-3) \cdot 1]$$
$$g''(t) = \frac{-36(t-3)}{\pi (1 + (t-3)^2)^2}$$
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos de la derivada:
$$g''(t) = 0 \implies -36(t-3) = 0 \implies t = 3$$
Estudiamos el signo de $g''(t)$ para confirmar que es un máximo de la velocidad (inflexión de la curva de personas):
$$\begin{array}{c|ccc}
t & (0,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline
g''(t) & + & 0 & -\\
\text{Velocidad} & \text{Creciendo} & \text{Máximo} & \text{Decreciendo}
\end{array}$$
La velocidad de propagación es máxima en $t=3$ y **empieza a disminuir justo después de $t=3$ días**.
Paso 5
Cálculo del número de personas en el momento crítico
Para saber cuántas personas conocen el bulo en $t = 3$, evaluamos $g(3)$:
$$g(3) = \frac{18}{\pi} \arctan(3 - 3) + 9$$
$$g(3) = \frac{18}{\pi} \arctan(0) + 9$$
Como $\arctan(0) = 0$:
$$g(3) = \frac{18}{\pi} \cdot 0 + 9 = 9$$
Al estar expresado en miles, el número de personas es $9 \times 1000 = 9000$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{A los 3 días; en ese momento hay 9000 personas.}}$$