Población de bacterias y cálculo integral

**a) [1,25 puntos] ¿Cuánto vale $P_0$, el número inicial de bacterias?** En primer lugar, resolvemos la integral definida que aparece en la expresión de $P(t)$ para obtener una fórmula manejable. La función a integrar es una exponencial de tipo $e^{ax}$. Calculamos la primitiva: $$\int 290e^{0,1x} dx = 290 \cdot \frac{e^{0,1x}}{0,1} = 2900e^{0,1x}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $t$: $$\int_{0}^{t} 290e^{0,1x} dx = [2900e^{0,1x}]_0^t = 2900e^{0,1t} - 2900e^{0,1 \cdot 0}$$ $$= 2900e^{0,1t} - 2900 \cdot 1 = 2900(e^{0,1t} - 1)$$ Sustituimos este resultado en la expresión original de $P(t)$: $$P(t) = P_0 + 2900(e^{0,1t} - 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función exponencial es $\int e^{f(x)} f'(x) dx = e^{f(x)} + C$. En este caso, al tener $e^{0,1x}$, su derivada interna sería $0,1$, por lo que ajustamos la constante multiplicando por $1/0,1 = 10$.

Utilizamos el dato proporcionado: al cabo de 10 días ($t=10$), el número de bacterias es $P(10) = 7888$. Sustituimos en nuestra fórmula: $$7888 = P_0 + 2900(e^{0,1 \cdot 10} - 1)$$ $$7888 = P_0 + 2900(e^1 - 1)$$ Usando la aproximación facilitada $e \simeq 2,72$: $$7888 = P_0 + 2900(2,72 - 1)$$ $$7888 = P_0 + 2900(1,72)$$ Realizamos la operación $2900 \cdot 1,72$: $$2900 \cdot 1,72 = 4988$$ Despejamos $P_0$: $$P_0 = 7888 - 4988 = 2900$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_0 = 2900 \text{ bacterias}}$$

**b) [1,25 puntos] ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 170 días?** Primero, escribimos la función $P(t)$ completa con el valor de $P_0$ hallado: $$P(t) = 2900 + 2900(e^{0,1t} - 1)$$ $$P(t) = 2900 + 2900e^{0,1t} - 2900 = 2900e^{0,1t}$$ Para calcular el número de bacterias a los 170 días, evaluamos en $t = 170$: $$P(170) = 2900 \cdot e^{0,1 \cdot 170} = 2900 \cdot e^{17}$$ Utilizando de nuevo la aproximación $e \simeq 2,72$: $$P(170) = 2900 \cdot (2,72)^{17}$$ Debido a que $(2,72)^{17}$ es un valor extremadamente grande, en un examen de Bachillerato se suele dejar expresado en función de la potencia o se indica el resultado en notación científica. Calculando el valor aproximado: $$(2,72)^{17} \approx 24.151.241,7$$ $$P(170) \approx 2900 \cdot 24.151.241,7 \approx 70.038.600.930$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(170) = 2900e^{17} \approx 7,004 \cdot 10^{10} \text{ bacterias}}$$