Modelo de enfriamiento de una bebida caliente

**a) [1,75 puntos] En relación a la función $T(t)$, indica su dominio, intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad, posibles extremos y posibles asíntotas. Esboza la gráfica de dicha función.** La función es de tipo racional: $T(t) = \frac{90 + 20t}{t + 1}$. Para funciones racionales, el dominio son todos los reales excepto los que anulan el denominador. Sin embargo, el enunciado restringe el tiempo a $t \geq 0$. Calculamos cuándo se anula el denominador: $$t + 1 = 0 \implies t = -1$$ Como $t = -1$ no está en el intervalo de tiempo físico ($t \geq 0$), la función es continua en todo su dominio de definición. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, el dominio suele estar limitado por la naturaleza de la variable (el tiempo no puede ser negativo). ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(T) = [0, +\infty)}$$

Para estudiar el crecimiento, calculamos la primera derivada $T'(t)$ usando la regla del cociente: $$T'(t) = \frac{20(t + 1) - (90 + 20t)(1)}{(t + 1)^2}$$ $$T'(t) = \frac{20t + 20 - 90 - 20t}{(t + 1)^2} = \frac{-70}{(t + 1)^2}$$ Analizamos el signo de $T'(t)$ para $t \geq 0$: - El denominador $(t + 1)^2$ siempre es positivo. - El numerador $-70$ siempre es negativo. Por tanto, $T'(t) \lt 0$ para todo $t \in [0, +\infty)$. La función es **estrictamente decreciente** en todo su dominio. **Extremos relativos:** Como $T'(t)$ nunca es cero, no existen puntos críticos ni extremos relativos en el interior del dominio. El valor máximo absoluto se alcanza en el instante inicial $t=0$. 💡 **Tip:** Si la derivada de una función es siempre negativa, la función siempre decae, lo cual tiene sentido físico en un proceso de enfriamiento. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } [0, +\infty). \text{ No hay extremos relativos.}}$$

Calculamos la segunda derivada $T''(t)$ a partir de $T'(t) = -70(t + 1)^{-2}$: $$T''(t) = -70 \cdot (-2) \cdot (t + 1)^{-3} = \frac{140}{(t + 1)^3}$$ Analizamos el signo de $T''(t)$ para $t \geq 0$: - Como $t \geq 0$, el término $(t+1)^3$ siempre es positivo. - El numerador $140$ es positivo. Por tanto, $T''(t) \gt 0$ para todo el dominio. La función es **convexa** (cóncava hacia arriba). $$\begin{array}{c|c} t & (0, +\infty) \\ \hline T''(t) & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ ✅ **Resultado (Concavidad):** $$\boxed{\text{Cóncava hacia arriba (convexa) en } [0, +\infty)}$$

**Asíntotas Verticales:** No existen en el dominio $[0, +\infty)$ ya que el denominador solo se anula en $t = -1$. **Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{90 + 20t}{t + 1} = \lim_{t \to +\infty} \frac{20t}{t} = 20$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 20$**. **Asíntotas Oblicuas:** Al existir una asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** En funciones racionales donde el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AH: } y = 20 \text{ (cuando } t \to +\infty). \text{ No hay AV ni AO.}}$$

Con los datos obtenidos: - Punto de corte con el eje Y (inicio): $T(0) = 90$. - Función siempre decreciente y convexa. - Se aproxima a la temperatura de $20^\circ$C a largo plazo. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "T", "latex": "T(x) = \\frac{90 + 20x}{x + 1} \\left\\{ x \\ge 0 \\right\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "asintota", "latex": "y = 20", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "inicio", "latex": "(0, 90)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "Inicio (0, 90)" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 20, "bottom": -5, "top": 100 } } }

**b) [0,75 puntos] Indica, justificando tu respuesta, cuál era la temperatura inicial que tenía la bebida, describe cómo ha evolucionado su temperatura y cuál sería la hipotética temperatura final que alcanzaría. ¿A qué temperatura está la habitación?** La **temperatura inicial** se obtiene evaluando la función en el instante $t = 0$: $$T(0) = \frac{90 + 20(0)}{0 + 1} = \frac{90}{1} = 90^\circ\text{C}$$ **Evolución:** Como hemos demostrado en el apartado anterior mediante la derivada ($T'(t) \lt 0$), la temperatura **disminuye de forma continua** desde los $90^\circ$C iniciales. ✅ **Resultado (Inicial):** $$\boxed{T_{inicial} = 90^\circ\text{C}}$$

La **temperatura final hipotética** es el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito: $$T_{final} = \lim_{t \to +\infty} T(t) = 20^\circ\text{C}$$ Físicamente, cuando un objeto se deja en una estancia, su temperatura tiende a igualarse con la del entorno debido al principio de equilibrio térmico. Dado que la temperatura de la bebida se estabiliza en los $20^\circ$C a medida que pasa el tiempo, podemos concluir que la **temperatura de la habitación es de $20^\circ$C**. ✅ **Resultado (Final y Habitación):** $$\boxed{T_{final} = 20^\circ\text{C} \implies T_{habitación} = 20^\circ\text{C}}$$