Análisis de movimiento: Función espacio y distancia recorrida

**a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de la función espacio con respecto al tiempo.** Como se indica en el enunciado, la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo ($v(t) = s'(t)$). Por tanto, para hallar la función espacio $s(t)$, debemos calcular la integral indefinida de la función velocidad $v(t) = t(4 - t) = 4t - t^2$: $$s(t) = \int v(t) \, dt = \int (4t - t^2) \, dt$$ Aplicamos la regla de integración de potencias: $$s(t) = 4 \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} + C = 2t^2 - \frac{t^3}{3} + C$$ El enunciado indica que la partícula "parte del reposo", lo que implica que en el instante inicial $t = 0$, la posición o espacio recorrido es cero ($s(0) = 0$): $$s(0) = 2(0)^2 - \frac{0^3}{3} + C = 0 \implies C = 0$$ Por tanto, la función espacio es: $$\boxed{s(t) = 2t^2 - \frac{t^3}{3}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si conoces la derivada de una función, la función original es su integral. La constante $C$ se determina siempre con las condiciones iniciales del problema.

Para esbozar la gráfica de $s(t) = 2t^2 - \frac{t^3}{3}$ en el dominio de interés ($t \ge 0$): 1. **Puntos de corte:** - Con el eje $t$ ($s(t) = 0$): $$t^2\left(2 - \frac{t}{3}\right) = 0 \implies t = 0 \text{ y } t = 6$$ 2. **Monotonía y extremos:** Usamos la derivada $s'(t) = v(t) = t(4 - t)$. Los puntos críticos son $t = 0$ y $t = 4$. $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 4) & 4 & (4, 6) \\\hline s'(t) = t(4-t) & + & 0 & - \\\hline s(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ El máximo relativo se encuentra en $t = 4$: $$s(4) = 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67$$ 3. **Curvatura:** $s''(t) = 4 - 2t$. Se anula en $t = 2$. - Si $t < 2$, $s''(t) > 0$ (convexa $\cup$). - Si $t > 2$, $s''(t) < 0$ (cóncava $\cap$). Existe un punto de inflexión en $(2, s(2))$: $$s(2) = 2(2)^2 - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \approx 5,33$$

**b) [1,75 puntos] Calcula el espacio recorrido en los tres primeros segundos.** El espacio recorrido en un intervalo de tiempo $[t_1, t_2]$ es la integral del módulo de la velocidad: $$\text{Distancia} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \, dt$$ En nuestro caso, para el intervalo $[0, 3]$, estudiamos el signo de $v(t) = t(4 - t)$. Como las raíces de $v(t)$ son $t=0$ y $t=4$, en el intervalo $(0, 3)$ la función velocidad es siempre positiva ($v(1) = 1(3) = 3 > 0$). Por tanto, el espacio recorrido coincide con la integral definida: $$E = \int_{0}^{3} (4t - t^2) \, dt$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** utilizando la primitiva hallada en el apartado anterior: $$E = \left[ 2t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{3}$$ Sustituimos los límites de integración: $$E = \left( 2(3)^2 - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{0^3}{3} \right)$$ $$E = (2 \cdot 9 - 9) - 0 = 18 - 9 = 9 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Si la velocidad cambiara de signo en el intervalo solicitado, tendríamos que dividir la integral en varios trozos (donde la velocidad es positiva y donde es negativa) para sumar sus valores absolutos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{9 \text{ metros}}$$