Áreas entre curvas y proporcionalidad en reparto de fincas

**Calcula la superficie de finca que corresponde a cada primo, y razona si es proporcional a sus edades.** Para delimitar las regiones de la finca, primero debemos encontrar los puntos donde las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ se cortan. Igualamos ambas funciones: $$x^3 - 3x + 2 = \frac{9x}{4} + \frac{9}{2}$$ Para simplificar la ecuación, multiplicamos todos los términos por 4: $$4(x^3 - 3x + 2) = 9x + 18$$ $$4x^3 - 12x + 8 = 9x + 18$$ $$4x^3 - 21x - 10 = 0$$ 💡 **Tip:** Al trabajar con fracciones en igualdades, multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores facilita el cálculo al convertir la ecuación en una polinómica de coeficientes enteros.

Buscamos las raíces de $4x^3 - 21x - 10 = 0$ utilizando la regla de Ruffini. Probamos con los divisores del término independiente ($\pm 1, \pm 2, \pm 5, \dots$). Si probamos con $x = -2$: $$ \begin{array}{r|rrrr} & 4 & 0 & -21 & -10 \\ -2 & & -8 & 16 & 10 \\ \hline & 4 & -8 & -5 & 0 \end{array} $$ La ecuación se factoriza como $(x+2)(4x^2 - 8x - 5) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado restante: $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{8}$$ $$x = \frac{8 \pm 12}{8} \implies x_1 = \frac{20}{8} = 2.5, \quad x_2 = -\frac{4}{8} = -0.5$$ Los puntos de corte son **$x = -2$**, **$x = -0.5$** y **$x = 2.5$**. Estos valores definen las dos regiones de la finca: - Región de la izquierda (primo menor): $[-2, -0.5]$ - Región de la derecha (primo mayor): $[-0.5, 2.5]$

Para saber qué función está por encima en cada intervalo, evaluamos un punto intermedio: 1. En $(-2, -0.5)$, tomamos $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$ $g(-1) = \frac{9(-1)}{4} + \frac{9}{2} = 2.25$ Como $f(x) \gt g(x)$, el área es $\int_{-2}^{-0.5} (f(x) - g(x)) dx$. 2. En $(-0.5, 2.5)$, tomamos $x = 0$: $f(0) = 2$ $g(0) = 4.5$ Como $g(x) \gt f(x)$, el área es $\int_{-0.5}^{2.5} (g(x) - f(x)) dx$. La función diferencia es $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - \frac{21}{4}x - \frac{5}{2}$. Su primitiva es: $$H(x) = \int (x^3 - \frac{21}{4}x - \frac{5}{2}) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{21}{8}x^2 - \frac{5}{2}x$$

Calculamos el área de la región izquierda $S_1$ en el intervalo $[-2, -0.5]$ aplicando la regla de Barrow: $$S_1 = \int_{-2}^{-0.5} (f(x) - g(x)) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{21}{8}x^2 - \frac{5}{2}x \right]_{-2}^{-0.5}$$ Evaluamos en los límites: - $H(-0.5) = \frac{(-1/2)^4}{4} - \frac{21}{8}(-1/2)^2 - \frac{5}{2}(-1/2) = \frac{1}{64} - \frac{21}{32} + \frac{5}{4} = \frac{1 - 42 + 80}{64} = \frac{39}{64}$ - $H(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - \frac{21}{8}(-2)^2 - \frac{5}{2}(-2) = 4 - \frac{21}{2} + 5 = 9 - 10.5 = -1.5 = -\frac{96}{64}$ $$S_1 = \frac{39}{64} - \left( -\frac{96}{64} \right) = \frac{135}{64} \approx 2.11 \text{ u}^2$$ ✅ **Superficie primo menor:** $$\boxed{S_1 = \dfrac{135}{64} \text{ unidades de superficie}}$$

Calculamos el área de la región derecha $S_2$ en el intervalo $[-0.5, 2.5]$: $$S_2 = \int_{-0.5}^{2.5} (g(x) - f(x)) dx = - \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{21}{8}x^2 - \frac{5}{2}x \right]_{-0.5}^{2.5}$$ Evaluamos en $x = 2.5 = 5/2$: - $H(2.5) = \frac{(5/2)^4}{4} - \frac{21}{8}(5/2)^2 - \frac{5}{2}(5/2) = \frac{625/16}{4} - \frac{21}{8} \cdot \frac{25}{4} - \frac{25}{4} = \frac{625}{64} - \frac{525}{32} - \frac{25}{4}$ - $H(2.5) = \frac{625 - 1050 - 400}{64} = -\frac{825}{64}$ $$S_2 = - \left( -\frac{825}{64} - \frac{39}{64} \right) = \frac{864}{64} = 13.5 \text{ u}^2$$ ✅ **Superficie primo mayor:** $$\boxed{S_2 = 13.5 \text{ unidades de superficie}}$$

Para comprobar si el reparto es proporcional a las edades (5 y 32 años), comparamos las razones: 1. Razón de las edades: $\frac{32}{5} = 6.4$ 2. Razón de las superficies: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{13.5}{135/64} = \frac{13.5 \cdot 64}{135} = \frac{864}{135} = 6.4$ Como ambas razones coinciden ($6.4 = 6.4$), concluimos que el reparto es **exactamente proporcional** a las edades de los primos. 💡 **Tip:** Dos magnitudes $a, b$ son proporcionales a $c, d$ si se cumple que $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ o, equivalentemente, si el cociente entre las partes es igual al cociente entre las referencias. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{El reparto es proporcional ya que } \frac{S_2}{S_1} = \frac{32}{5} = 6.4}$$