División de un área mediante una recta horizontal

Para resolver este problema, primero debemos visualizar la región y determinar sus límites. La parcela está limitada por la parábola $y = 3x^2$ y la recta horizontal $y = 12$. Calculamos los puntos de intersección entre ambas curvas igualando sus expresiones: $$3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ La región es simétrica respecto al eje $Y$ (ya que $f(x) = 3x^2$ es una función par) y se extiende desde $x = -2$ hasta $x = 2$. 💡 **Tip:** Siempre es útil identificar la simetría de las funciones para simplificar los cálculos de las integrales definidas.

Calculamos el área total $A_T$ encerrada entre la recta superior ($y = 12$) y la parábola ($y = 3x^2$) mediante una integral definida: $$A_T = \int_{-2}^{2} (12 - 3x^2) \, dx$$ Aprovechando la simetría: $$A_T = 2 \int_{0}^{2} (12 - 3x^2) \, dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A_T = 2 \left[ 12x - \frac{3x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left[ 12x - x^3 \right]_0^2$$ $$A_T = 2 \left( (12 \cdot 2 - 2^3) - (0) \right) = 2(24 - 8) = 2 \cdot 16 = 32$$ El área total de la parcela es **$32$ unidades cuadradas**. 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en $[a, b]$ es $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.

Queremos dividir la parcela en dos partes iguales mediante la recta $y = a$. Como el área total es $32$, cada parte debe tener un área de **$16$ unidades cuadradas**. La recta $y = a$ debe estar comprendida entre el vértice de la parábola ($y=0$) y la recta superior ($y=12$), por tanto, $0 < a < 12$. La parte inferior de la parcela es la región encerrada entre la parábola $y = 3x^2$ y la recta $y = a$. Buscamos los nuevos puntos de corte: $$3x^2 = a \implies x^2 = \frac{a}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$$ Llamemos $A_{inf}$ al área de esta parte inferior, que debe ser igual a $16$.

Planteamos la integral para el área inferior utilizando los límites calculados: $$A_{inf} = \int_{-\sqrt{a/3}}^{\sqrt{a/3}} (a - 3x^2) \, dx = 16$$ Usando de nuevo la simetría: $$2 \int_{0}^{\sqrt{a/3}} (a - 3x^2) \, dx = 16 \implies \int_{0}^{\sqrt{a/3}} (a - 3x^2) \, dx = 8$$ Integramos y aplicamos Barrow: $$\left[ ax - x^3 \right]_0^{\sqrt{a/3}} = 8$$ $$\left( a \sqrt{\frac{a}{3}} - \left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^3 \right) - 0 = 8$$ Sabiendo que $\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)^3 = \frac{a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}}$, sustituimos: $$a \sqrt{\frac{a}{3}} - \frac{a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}} = 8 \implies \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}} = 8$$ $$\frac{a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}} = 4 \implies \left(\frac{a}{3}\right)^{3/2} = 4$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$\left(\frac{a}{3}\right)^3 = 16 \implies \frac{a^3}{27} = 16$$ $$a^3 = 16 \cdot 27 = 432$$ $$a = \sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 3^3} = 6 \sqrt[3]{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 6\sqrt[3]{2} \approx 7.56}$$ 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones con potencias fraccionarias, es útil expresar todo en términos de una única base elevada a una potencia o elevar ambos lados al recíproco de la potencia.