Optimización de la concentración de un medicamento

**a) [1,5 puntos] Determina el valor máximo de $c(t)$ e indica en qué momento se alcanza dicho valor máximo.** Para encontrar los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $c(t) = t e^{-t/2}$, debemos calcular su primera derivada $c'(t)$ e igualarla a cero. Aplicamos la regla del producto: $$c'(t) = (t)' \cdot e^{-t/2} + t \cdot (e^{-t/2})'$$ $$c'(t) = 1 \cdot e^{-t/2} + t \cdot \left( e^{-t/2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \right)$$ $$c'(t) = e^{-t/2} - \frac{t}{2} e^{-t/2}$$ Factorizamos $e^{-t/2}$ para simplificar la expresión: $$c'(t) = e^{-t/2} \left( 1 - \frac{t}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $e^{u(x)}$ la fórmula es $e^{u(x)} \cdot u'(x)$. En este caso $u(t) = -t/2$, por lo que $u'(t) = -1/2$. $$\boxed{c'(t) = e^{-t/2} \left( 1 - \frac{t}{2} \right)}$$

Buscamos los puntos donde la derivada es cero: $$c'(t) = 0 \implies e^{-t/2} \left( 1 - \frac{t}{2} \right) = 0$$ Como la función exponencial $e^{-t/2}$ es siempre positiva ($e^{-t/2} \gt 0$) para cualquier valor de $t$, la única posibilidad es: $$1 - \frac{t}{2} = 0 \implies 1 = \frac{t}{2} \implies t = 2$$ Analizamos el signo de $c'(t)$ alrededor de $t=2$ para confirmar que se trata de un máximo (teniendo en cuenta que $t \ge 0$ ya que representa el tiempo): $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline e^{-t/2} & + & + & + \\ 1 - t/2 & + & 0 & - \\ \hline c'(t) & + & 0 & - \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 2)$, $c'(t) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En el intervalo $(2, +\infty)$, $c'(t) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Al pasar de crecer a decrecer en $t=2$, existe un **máximo relativo** en ese punto. $$\boxed{\text{El máximo se alcanza a las } t = 2 \text{ horas}}$$

Para hallar el valor máximo de la concentración, sustituimos $t = 2$ en la función original $c(t)$: $$c(2) = 2 \cdot e^{-2/2} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e}$$ Calculamos el valor aproximado usando $e \approx 2,718$: $$c(2) = \frac{2}{2,718} \approx 0,7358 \text{ mg/ml}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{El valor máximo es } \dfrac{2}{e} \approx 0,736 \text{ mg/ml y se alcanza a las } 2 \text{ horas}}$$

**b) [1 punto] Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, ¿en algún momento hay riesgo para el paciente?** El riesgo para el paciente ocurre si la concentración $c(t)$ supera el umbral de $1 \text{ mg/ml}$. Hemos determinado en el apartado anterior que el valor máximo absoluto de la función en el intervalo $[0, +\infty)$ es: $$C_{max} = \frac{2}{e} \approx 0,736 \text{ mg/ml}$$ Comparamos este valor con el límite de seguridad: $$0,736 \lt 1$$ Dado que el valor máximo que alcanza la medicina en sangre es menor que la concentración de riesgo, podemos concluir que en ningún momento hay riesgo para el paciente. 💡 **Tip:** En problemas de contexto, siempre es útil comparar los valores numéricos obtenidos con los límites proporcionados en el enunciado para dar una respuesta razonada. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{No hay riesgo, ya que el máximo (0,736 mg/ml) es menor que 1 mg/ml}}$$