Cálculo de área entre curvas y coste de materiales

Para delimitar la zona verde, primero debemos encontrar los valores de $x$ donde las gráficas de las funciones $f(x) = 9x - x^2$ y $g(x) = x$ se intersecan. Estos puntos serán los límites de integración. Igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x)$$ $$9x - x^2 = x$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 8x = 0$$ $$x(8 - x) = 0$$ Las soluciones son: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 8$$ Por tanto, la zona verde está comprendida en el intervalo $[0, 8]$. 💡 **Tip:** Para hallar los puntos de corte entre dos gráficas $f$ y $g$, siempre resolvemos la ecuación $f(x) - g(x) = 0$. $$\boxed{x = 0, \, x = 8}$$

Para calcular el área, debemos saber cuál de las dos funciones queda por encima en el intervalo $(0, 8)$. Tomamos un punto cualquiera del intervalo, por ejemplo $x = 1$: - $f(1) = 9(1) - (1)^2 = 8$ - $g(1) = 1$ Como $f(1) \gt g(1)$, la función $f(x) = 9x - x^2$ es la que limita por arriba la zona verde. Podemos visualizar la zona sombreada en el siguiente interactivo:

El área $A$ de la región delimitada por las dos curvas se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo hallado: $$A = \int_{0}^{8} (f(x) - g(x)) \, dx$$ $$A = \int_{0}^{8} (9x - x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{8} (8x - x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (8x - x^2) \, dx = \frac{8x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 4x^2 - \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ 4x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{8}$$ $$A = \left( 4(8)^2 - \frac{8^3}{3} \right) - \left( 4(0)^2 - \frac{0^3}{3} \right)$$ $$A = \left( 4 \cdot 64 - \frac{512}{3} \right) - 0 = 256 - \frac{512}{3}$$ $$A = \frac{768 - 512}{3} = \frac{256}{3} \text{ m}^2 \approx 85,33 \text{ m}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado fuera negativo, es probable que hayamos invertido el orden de las funciones en el integrando. $$\boxed{A = \frac{256}{3} \text{ m}^2}$$

Finalmente, para obtener el coste total, multiplicamos la superficie obtenida por el precio por metro cuadrado (12 euros/m²). $$\text{Coste} = \text{Área} \cdot \text{Precio}$$ $$\text{Coste} = \frac{256}{3} \text{ m}^2 \cdot 12 \text{ €/m}^2$$ Realizamos la operación simplificando primero: $$\text{Coste} = 256 \cdot \frac{12}{3} = 256 \cdot 4$$ $$\text{Coste} = 1024 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las fracciones antes de multiplicar para facilitar los cálculos manuales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{1024 \text{ euros}}$$