Optimización del tiempo de trayecto: El problema del río

Para resolver este problema de optimización, lo primero es representar la situación y definir las variables. Sea $x$ la distancia entre el punto $B$ (justo enfrente de la salida) y el punto de desembarco $D$. Como el punto $D$ está entre $B$ y $C$, y la distancia entre $B$ y $C$ es de 100 metros, tenemos que $0 \le x \le 100$. Analizamos las distancias de los dos trayectos: 1. **Trayecto a nado ($AD$):** Forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 20 m (ancho del río) y $x$ m (distancia $BD$). Por el teorema de Pitágoras: $$AD = \sqrt{x^2 + 20^2} = \sqrt{x^2 + 400}$$ 2. **Trayecto a pie ($DC$):** Es la distancia restante en la orilla hasta llegar a $C$: $$DC = 100 - x$$ 💡 **Tip:** Siempre intenta dibujar un esquema para visualizar los triángulos rectángulos. En problemas de optimización, el dominio de la variable (en este caso $[0, 100]$) es fundamental para asegurar que la solución tiene sentido físico.

El tiempo total $T$ es la suma del tiempo empleado a nado ($t_n$) y el tiempo empleado a pie ($t_p$). Usamos la fórmula $t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$. Datos de velocidades: - Velocidad a nado ($v_n$): $1 \text{ m/s}$ - Velocidad a pie ($v_p$): $2 \text{ m/s}$ La función tiempo $T(x)$ es: $$T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 400}}{1} + \frac{100 - x}{2}$$ Simplificando la expresión: $$T(x) = \sqrt{x^2 + 400} + 50 - \frac{x}{2}$$ Esta es la función que debemos minimizar en el intervalo $[0, 100]$. $$\boxed{T(x) = \sqrt{x^2 + 400} + 50 - 0.5x}$$

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada $T'(x)$ e igualamos a cero: Derivamos la raíz usando la regla de la cadena $\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$: $$T'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 400}} - \frac{1}{2} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 400}} - \frac{1}{2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 400}} - \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{x}{\sqrt{x^2 + 400}} = \frac{1}{2}$$ Multiplicamos en cruz: $$2x = \sqrt{x^2 + 400}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado (teniendo en cuenta que $x$ debe ser positivo): $$(2x)^2 = x^2 + 400 \implies 4x^2 = x^2 + 400 \implies 3x^2 = 400$$ Despejamos $x$: $$x^2 = \frac{400}{3} \implies x = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando: $$x = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.55 \text{ metros}$$ Como $11.55$ está dentro del intervalo $[0, 100]$, es un candidato válido para el mínimo.

Debemos comprobar que en $x = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ la función alcanza un mínimo. Analizamos el signo de $T'(x)$ a ambos lados del valor crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 11.55) & 11.55 & (11.55, 100] \\\hline T'(x) & - & 0 & + \\\hline T(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si tomamos $x=0$, $T'(0) = 0 - 0.5 = -0.5 < 0$. - Si tomamos $x=20$, $T'(20) = \frac{20}{\sqrt{800}} - 0.5 = \frac{20}{20\sqrt{2}} - 0.5 = \frac{1}{\sqrt{2}} - 0.5 \approx 0.707 - 0.5 > 0$. Al pasar de decreciente a creciente, confirmamos que se trata de un **mínimo relativo**. Como la función es continua en un intervalo cerrado, también podríamos comprobar los extremos del intervalo: - $T(0) = \sqrt{400} + 50 = 70 \text{ s}$ - $T(100) = \sqrt{10000+400} + 0 \approx 101.98 \text{ s}$ - $T(11.55) = \sqrt{133.33+400} + 50 - 5.77 \approx 67.32 \text{ s}$ El tiempo mínimo se da efectivamente en $x = \frac{20\sqrt{3}}{3}$. 💡 **Tip:** En optimización, el estudio de la derivada segunda $T''(x)$ es otra forma de confirmar el mínimo. Si $T''(x) > 0$ en el punto crítico, es un mínimo.

La distancia $x$ representa la separación entre el punto $B$ (enfrente del inicio) y el punto de desembarco $D$. Para que el joven llegue en el menor tiempo posible, el punto $D$ debe estar a una distancia de: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.55 \text{ metros de } B}$$