Área de una región con valor absoluto

**4.2.1 (1 punto) Representar la región comprendida entre la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas (eje OX) y las rectas $x = -1$ y $x = 5$.** Para trabajar con la función $f(x) = x|x - 2|$, primero debemos eliminar el valor absoluto definiéndola como una función a trozos. Recordamos que: $$|x - 2| = \begin{cases} -(x - 2) & \text{si } x \lt 2 \\ x - 2 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$ Multiplicando por $x$ en cada rama: $$f(x) = \begin{cases} x(-x + 2) & \text{si } x \lt 2 \\ x(x - 2) & \text{si } x \ge 2 \end{cases} = \begin{cases} -x^2 + 2x & \text{si } x \lt 2 \\ x^2 - 2x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al definir una función a trozos con valor absoluto, el punto crítico es aquel donde el argumento del valor absoluto se anula (en este caso $x=2$).

Para representar la región, buscamos los puntos de corte con el eje de abscisas ($y = 0$): - Para $x \lt 2$: $-x^2 + 2x = 0 \implies x(-x + 2) = 0 \implies x = 0$ y $x = 2$ (este último es el borde del dominio de la rama). - Para $x \ge 2$: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 2$ y $x = 0$ (fuera de esta rama). Los puntos de corte dentro del intervalo de interés $[-1, 5]$ son **$x = 0$** y **$x = 2$**. Además, evaluamos los extremos del recinto: - $f(-1) = (-1)|-1 - 2| = -1 \cdot 3 = -3$ - $f(5) = 5|5 - 2| = 5 \cdot 3 = 15$ - $f(2) = 2|2 - 2| = 0$ Esto nos indica que la función cambia de signo en $x = 0$.

La región está delimitada por la curva $f(x)$, el eje $y=0$ y las verticales $x=-1$ y $x=5$. Observamos tres recintos: 1. Entre $x = -1$ y $x = 0$, la función es negativa. 2. Entre $x = 0$ y $x = 2$, la función es positiva. 3. Entre $x = 2$ y $x = 5$, la función es positiva. Visualizamos la región en el siguiente interactivo:

**4.2.2 (1.5 puntos) Calcular el área de la región anterior.** El área total $A$ es la integral del valor absoluto de la función entre los límites dados: $$A = \int_{-1}^{5} |f(x)| \, dx$$ Dividimos la integral según los puntos donde la función corta al eje OX y según el cambio de definición de la función en $x=2$: 1. En $[-1, 0]$, $f(x) \le 0$, por lo que el área es $\int_{-1}^{0} -f(x) \, dx$. 2. En $[0, 2]$, $f(x) \ge 0$, por lo que el área es $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$. 3. En $[2, 5]$, $f(x) \ge 0$, por lo que el área es $\int_{2}^{5} f(x) \, dx$. Sustituimos las ramas correspondientes: $$A = \int_{-1}^{0} -(-x^2 + 2x) \, dx + \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx + \int_{2}^{5} (x^2 - 2x) \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{0} (x^2 - 2x) \, dx + \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx + \int_{2}^{5} (x^2 - 2x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que calcules áreas, asegúrate de que cada integral parcial sea positiva o toma el valor absoluto del resultado de la integral.

Calculamos cada parte por separado utilizando la regla de Barrow: **Primera parte ($A_1$):** $$A_1 = \int_{-1}^{0} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{0} = (0) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 \right) = -\left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$$ **Segunda parte ($A_2$):** $$A_2 = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - (0) = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{-8 + 12}{3} = \frac{4}{3}$$ **Tercera parte ($A_3$):** $$A_3 = \int_{2}^{5} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{5} = \left( \frac{5^3}{3} - 5^2 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right)$$ $$A_3 = \left( \frac{125}{3} - 25 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = \left( \frac{125 - 75}{3} \right) - \left( \frac{8 - 12}{3} \right) = \frac{50}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{54}{3} = 18$$ 💡 **Tip:** Revisa con cuidado los signos al aplicar el límite inferior de la regla de Barrow.

Sumamos los tres resultados obtenidos: $$A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 18$$ $$A = \frac{8}{3} + \frac{54}{3} = \frac{62}{3}$$ Expresado en forma decimal: $$A \approx 20.67 \text{ unidades de área}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{62}{3} \text{ u}^2}$$