Optimización del coste de una caja de paquetería

**4.1.1 (0.75 puntos) La función $P(x)$ que proporciona el precio del material de la caja en función del lado de la base $x$.** Primero, definimos las dimensiones de la caja: - $x$: longitud del lado de la base cuadrada (en $\text{cm}$). - $h$: altura de la caja (en $\text{cm}$). El enunciado nos indica que el volumen de la caja es de $80 \text{ cm}^3$. La fórmula del volumen de un prisma de base cuadrada es $V = \text{Área de la base} \cdot \text{altura}$, por lo tanto: $$V = x^2 \cdot h = 80$$ De esta relación, podemos despejar la altura $h$ en función de $x$: $$h = \frac{80}{x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con varias variables, el primer paso suele ser usar el dato del volumen o área (restricción) para dejar una variable en función de la otra. $$\boxed{h = \frac{80}{x^2}}$$

Para hallar el precio total $P$, calculamos el coste de cada parte de la caja: 1. **Caras laterales:** Hay 4 caras rectangulares de dimensiones $x \times h$. El área lateral total es $4xh$. Como el precio es $1 \text{ cént/cm}^2$: $$\text{Coste}_{\text{lateral}} = 4xh \cdot 1 = 4xh$$ 2. **Base y tapa:** Son dos cuadrados de área $x^2$ cada uno. El área total es $2x^2$. El material es un 25% más caro que el lateral ($1 \text{ cént/cm}^2$), es decir, cuesta $1.25 \text{ cént/cm}^2$: $$\text{Coste}_{\text{base+tapa}} = 2x^2 \cdot 1.25 = 2.5x^2$$ Sumamos ambos costes para obtener la función precio $P(x, h) = 2.5x^2 + 4xh$. Sustituyendo $h = \frac{80}{x^2}$: $$P(x) = 2.5x^2 + 4x \left( \frac{80}{x^2} \right) = 2.5x^2 + \frac{320}{x}$$ Como $x$ representa una longitud, el dominio físico de la función es $x \in (0, +\infty)$. ✅ **Resultado (apartado 4.1.1):** $$\boxed{P(x) = 2.5x^2 + \frac{320}{x}}$$

**4.1.2 (1.25 puntos) Las dimensiones de la caja para que la función $P(x)$ tenga el menor valor posible.** Para encontrar el valor mínimo de $P(x)$, derivamos la función e igualamos a cero: $$P'(x) = \frac{d}{dx} (2.5x^2 + 320x^{-1}) = 5x - 320x^{-2} = 5x - \frac{320}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$5x - \frac{320}{x^2} = 0 \implies 5x = \frac{320}{x^2} \implies 5x^3 = 320$$ $$x^3 = \frac{320}{5} = 64 \implies x = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $k/x$ es $-k/x^2$. Es muy útil tratar las potencias negativas para derivar de forma más sencilla. $$\boxed{x = 4 \text{ cm}}$$

Para asegurar que en $x = 4$ hay un mínimo, estudiamos el signo de la derivada a su izquierda y derecha: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 4) & 4 & (4, +\infty)\\\hline P'(x) & - & 0 & + \end{array}$$ - Si $x \in (0, 4)$, por ejemplo $x=1$, $P'(1) = 5 - 320 < 0$ (la función decrece). - Si $x \in (4, +\infty)$, por ejemplo $x=10$, $P'(10) = 50 - 3.2 > 0$ (la función crece). Al decrecer antes de $x=4$ y crecer después, existe un **mínimo relativo** en $x = 4$. Calculamos ahora la altura $h$ correspondiente: $$h = \frac{80}{4^2} = \frac{80}{16} = 5 \text{ cm}$$ ✅ **Resultado (apartado 4.1.2):** Dimensiones para el coste mínimo: $$\boxed{\text{Lado de la base } x = 4 \text{ cm}, \quad \text{Altura } h = 5 \text{ cm}}$$

**4.1.3 (0.5 puntos) El precio del material en el caso anterior.** Sustituimos el valor del lado de la base $x = 4$ en la función de precio $P(x)$ calculada en el primer apartado: $$P(4) = 2.5(4)^2 + \frac{320}{4}$$ $$P(4) = 2.5 \cdot 16 + 80$$ $$P(4) = 40 + 80 = 120 \text{ céntimos}$$ Si queremos expresar el resultado en euros: $$120 \text{ céntimos} = 1.20 \text{ €}$$ ✅ **Resultado (apartado 4.1.3):** $$\boxed{\text{Precio} = 120 \text{ céntimos (o 1.20 €)}}$$