Geometría en el espacio: Planos, distancias y simetría

**3.2.1 (1 punto) La ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ y por $Q = (2, 1, 2)$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). Llamemos $\pi'$ al plano que buscamos. Como $P$ y $Q$ pertenecen a $\pi'$, un vector director será: $$\vec{v}_1 = \vec{PQ} = Q - P = (2 - (-1), 1 - 0, 2 - 1) = (3, 1, 1).$$ Como $\pi'$ es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (3, -1, 2)$, debe ser paralelo a nuestro plano $\pi'$. Por tanto, tomamos como segundo vector director: $$\vec{v}_2 = \vec{n}_\pi = (3, -1, 2).$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal del primero se convierte en un vector contenido (director) en el segundo.

El vector normal del plano buscado, $\vec{n}_{\pi'}$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi'} = (2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) - (3\mathbf{k} - \mathbf{i} + 6\mathbf{j})$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (2 + 1)\mathbf{i} + (3 - 6)\mathbf{j} + (-3 - 3)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 6\mathbf{k}$$ Podemos simplificar este vector dividiendo por 3 para obtener un vector normal más sencillo: $$\vec{n}_{\pi'} = (1, -1, -2).$$ 💡 **Tip:** Simplificar el vector normal facilita los cálculos posteriores, ya que cualquier vector proporcional representa la misma dirección perpendicular.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos los componentes de $\vec{n}_{\pi'}$: $$1x - 1y - 2z + D = 0 \implies x - y - 2z + D = 0.$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $Q(2, 1, 2)$ (también podríamos usar $P$): $$2 - 1 - 2(2) + D = 0 \implies 2 - 1 - 4 + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3.$$ La ecuación del plano es $x - y - 2z + 3 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y - 2z + 3 = 0}$$

**3.2.2 (0.5 puntos) La distancia del punto $Q$ al plano $\pi$.** El plano es $\pi: 3x - y + 2z - 4 = 0$ y el punto es $Q(2, 1, 2)$. Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(Q, \pi) = \frac{|3(2) - 1(1) + 2(2) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|6 - 1 + 4 - 4|}{\sqrt{9 + 1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{14}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(Q, \pi) = \frac{5\sqrt{14}}{14} \text{ unidades. }$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el valor absoluto en el numerador asegura que la distancia sea siempre positiva. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(Q, \pi) = \dfrac{5\sqrt{14}}{14}}$$

**3.2.3 (1 punto) El punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$.** Para hallar el simétrico de $P(-1, 0, 1)$ respecto a $\pi$, seguimos estos pasos: 1. Hallamos la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. 2. Hallamos el punto de intersección $M$ entre $r$ y $\pi$ (proyección ortogonal). 3. El punto $M$ será el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. **Paso 1: Recta $r$ perpendicular a $\pi$ por $P$** El vector director de $r$ es el normal de $\pi$: $\vec{d}_r = \vec{n}_\pi = (3, -1, 2)$. La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r: \begin{cases} x = -1 + 3\lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$

**Paso 2: Intersección $M = r \cap \pi$** Sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano $3x - y + 2z = 4$: $$3(-1 + 3\lambda) - (-\lambda) + 2(1 + 2\lambda) = 4$$ $$-3 + 9\lambda + \lambda + 2 + 4\lambda = 4$$ $$14\lambda - 1 = 4 \implies 14\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{5}{14}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x_M = -1 + 3\left(\frac{5}{14}\right) = -1 + \frac{15}{14} = \frac{1}{14}$$ $$y_M = -\frac{5}{14}$$ $$z_M = 1 + 2\left(\frac{5}{14}\right) = 1 + \frac{10}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$$ $$M = \left(\frac{1}{14}, -\frac{5}{14}, \frac{12}{7}\right)$$

**Paso 3: $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$** Sea $P' = (x', y', z')$. Se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos cada componente: $$x' = 2\left(\frac{1}{14}\right) - (-1) = \frac{1}{7} + 1 = \frac{8}{7}$$ $$y' = 2\left(-\frac{5}{14}\right) - 0 = -\frac{5}{7}$$ $$z' = 2\left(\frac{12}{7}\right) - 1 = \frac{24}{7} - \frac{7}{7} = \frac{17}{7}$$ 💡 **Tip:** No utilices fórmulas directas para el simétrico, el método del punto medio es mucho más seguro y valorado en los exámenes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P' = \left(\dfrac{8}{7}, -\dfrac{5}{7}, \dfrac{17}{7}\right)}$$