Intersección de rectas, plano que las contiene y distancias

**3.1.1 (1 punto) Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.** Primero, identificamos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$ (en forma paramétrica): - Punto $P_r = (1, 0, 2)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$ Para la recta $s$ (en forma implícita), obtenemos su forma paramétrica haciendo $y = \mu$: De $x = -1$, sustituimos en la segunda ecuación: $-1 + 2\mu + z = 0 \implies z = 1 - 2\mu$ Así, la recta $s$ es: $s: \begin{cases} x = -1 \\ y = \mu \\ z = 1 - 2\mu \end{cases}$ - Punto $P_s = (-1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (0, 1, -2)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables (aquí $y$) y despejar las demás.

Para hallar el punto de corte, igualamos las coordenadas de $r$ y $s$: 1) $1 + 2\lambda = -1$ 2) $\lambda = \mu$ 3) $2 - \lambda = 1 - 2\mu$ De la ecuación (1): $2\lambda = -2 \implies \lambda = -1$. Sustituyendo en (2): $\mu = -1$. Ahora comprobamos si estos valores cumplen la tercera ecuación: $2 - (-1) = 1 - 2(-1)$ $3 = 1 + 2 \implies 3 = 3$. Como el sistema es compatible determinado, las rectas se cortan en un punto. Sustituimos $\lambda = -1$ en $r$ (o $\mu = -1$ en $s$): $x = 1 + 2(-1) = -1$ $y = -1$ $z = 2 - (-1) = 3$ ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{I(-1, -1, 3)}$$

**3.1.2 (1 punto) La ecuación del plano que contiene a ambas rectas.** Un plano que contiene a dos rectas que se cortan tiene como vectores directores los vectores de las rectas, $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$. El vector normal del plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i}(1 \cdot (-2)) + \vec{j}((-1) \cdot 0) + \vec{k}(2 \cdot 1) - [\vec{k}(1 \cdot 0) + \vec{i}(1 \cdot (-1)) + \vec{j}(2 \cdot (-2))]$$ $$\vec{n} = (-2\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}) - (0\vec{k} - 1\vec{i} - 4\vec{j})$$ $$\vec{n} = (-2+1)\vec{i} + (0+4)\vec{j} + (2-0)\vec{k} = (-1, 4, 2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, que es el vector normal del plano que los contiene. $$\vec{n} = (-1, 4, 2)$$

Utilizamos el vector normal $\vec{n} = (-1, 4, 2)$ y un punto de cualquiera de las rectas, por ejemplo, $P_r(1, 0, 2)$. La ecuación del plano $\pi$ es: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ $-1(x - 1) + 4(y - 0) + 2(z - 2) = 0$ $-x + 1 + 4y + 2z - 4 = 0$ $-x + 4y + 2z - 3 = 0$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x - 4y - 2z + 3 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi: x - 4y - 2z + 3 = 0}$$

**3.1.3 (0.5 puntos) La distancia del punto $P = (1, 0, 2)$ a dicho plano.** Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos $P(1, 0, 2)$ y $\pi: x - 4y - 2z + 3 = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|1(1) - 4(0) - 2(2) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-2)^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|1 - 0 - 4 + 3|}{\sqrt{1 + 16 + 4}} = \frac{|0|}{\sqrt{21}} = 0$$ 💡 **Tip:** Si la distancia es $0$, significa que el punto $P$ pertenece al plano. En este caso es lógico, ya que $P(1, 0, 2)$ es el punto $P_r$ que usamos para definir la recta $r$, y el plano contiene a la recta $r$. ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(P, \pi) = 0\text{ u}}$$