Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema en función del parámetro $a$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -3 \\ 2 & a & -5 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -3 & 0 \\ 2 & a & -5 & -3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -2 & -3 \\ 2 & a & -5 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot a \cdot 2) + (-2 \cdot -5 \cdot 1) + (-3 \cdot 2 \cdot 1) - [(-3 \cdot a \cdot 1) + (3 \cdot -5 \cdot 1) + (-2 \cdot 2 \cdot 2)]$$ $$|A| = (6a + 10 - 6) - (-3a - 15 - 8)$$ $$|A| = 6a + 4 - (-3a - 23) = 6a + 4 + 3a + 23 = 9a + 27$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$9a + 27 = 0 \implies 9a = -27 \implies a = -3$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius es la herramienta fundamental para discutir sistemas: comparamos el rango de la matriz de coeficientes ($A$), el de la ampliada ($A^*$) y el número de incógnitas ($n=3$).

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq -3$** Si $a \neq -3$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es máximo: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, con solución única. **Caso 2: $a = -3$** Si $a = -3$, $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Comprobamos si existe un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - (-2) = 5 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos ahora el rango de $A^*$ para $a = -3$: $$A^* = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -3 & 0 \\ 2 & -3 & -5 & -3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Observamos si la segunda fila es combinación lineal de las otras. Si calculamos $F_1 - F_3$: $$(3-1, -2-1, -3-2, 0-3) = (2, -3, -5, -3)$$ Que es exactamente la fila 2 ($F_2$). Por tanto, la fila 2 es dependiente y $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq -3 \implies \text{SCD (Solución única)} \\ a = -3 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**2.2.2 (0.75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.** El sistema es SCI para $a = -3$. Como el rango es 2, podemos eliminar la ecuación dependiente (la segunda) y quedarnos con un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Usaremos un parámetro $\lambda$ para la variable $z$. Sea $z = \lambda$: $$\begin{cases} 3x - 2y = 3\lambda \\ x + y = 3 - 2\lambda \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por 2 y sumamos para eliminar la $y$: $$(3x - 2y) + 2(x + y) = 3\lambda + 2(3 - 2\lambda)$$ $$3x - 2y + 2x + 2y = 3\lambda + 6 - 4\lambda$$ $$5x = 6 - \lambda \implies x = \frac{6 - \lambda}{5}$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $$y = 3 - 2\lambda - x = 3 - 2\lambda - \frac{6 - \lambda}{5}$$ $$y = \frac{15 - 10\lambda - (6 - \lambda)}{5} = \frac{15 - 10\lambda - 6 + \lambda}{5} = \frac{9 - 9\lambda}{5}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar las soluciones en función de uno o más parámetros (tantos como la diferencia entre el nº de incógnitas y el rango). ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{6 - \lambda}{5}, \frac{9 - 9\lambda}{5}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**2.2.3 (0.75 puntos) Calcular la solución del sistema para $a = 0$.** Para $a = 0$, el determinante es $|A| = 9(0) + 27 = 27$. El sistema es: $$\begin{cases} 3x - 2y - 3z = 0 \\ 2x - 5z = -3 \\ x + y + 2z = 3 \end{cases}$$ Utilizamos la regla de Cramer para resolverlo: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{1}{27} \begin{vmatrix} 0 & -2 & -3 \\ -3 & 0 & -5 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{27} [0 + 30 + 9 - (0 + 0 + 12)] = \frac{39 - 12}{27} = \frac{27}{27} = 1$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{1}{27} \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 2 & -3 & -5 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{27} [-18 + 0 - 18 - (9 - 45 + 0)] = \frac{-36 - (-36)}{27} = 0$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{1}{27} \begin{vmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \frac{1}{27} [0 + 6 + 0 - (0 - 9 - 12)] = \frac{6 - (-21)}{27} = \frac{27}{27} = 1$$ 💡 **Tip:** Aunque Cramer es muy directo para sistemas $3 \times 3$, también podrías usar el método de Gauss o sustitución si te resulta más cómodo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, y = 0, z = 1}$$