Matrices con parámetros: Idempotencia e Inversión

**2.1.1 (1.25 puntos) En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotent, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^2 = A$. Obtener los valores $\alpha$ que permitan funcionar a este proceso.** Primero, calculamos el producto $A^2 = A \cdot A$ realizando la multiplicación de la matriz por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \alpha \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Fila 1: $(1 \cdot 1 + \alpha \cdot 0 + 0 \cdot 0) = 1$; $(1 \cdot \alpha + \alpha \cdot \alpha + 0 \cdot 0) = \alpha + \alpha^2$; $(1 \cdot 0 + \alpha \cdot 0 + 0 \cdot (1-\alpha)) = 0$ - Fila 2: $(0 \cdot 1 + \alpha \cdot 0 + 0 \cdot 0) = 0$; $(0 \cdot \alpha + \alpha \cdot \alpha + 0 \cdot 0) = \alpha^2$; $(0 \cdot 0 + \alpha \cdot 0 + 0 \cdot (1-\alpha)) = 0$ - Fila 3: $(0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (1-\alpha) \cdot 0) = 0$; $(0 \cdot \alpha + 0 \cdot \alpha + (1-\alpha) \cdot 0) = 0$; $(0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (1-\alpha)^2) = (1-\alpha)^2$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & \alpha + \alpha^2 & 0 \\ 0 & \alpha^2 & 0 \\ 0 & 0 & (1 - \alpha)^2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Para que la matriz sea idempotente, debe cumplirse que $A^2 = A$. Igualamos los elementos correspondientes de ambas matrices: $$\begin{pmatrix} 1 & \alpha + \alpha^2 & 0 \\ 0 & \alpha^2 & 0 \\ 0 & 0 & (1 - \alpha)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \alpha \end{pmatrix}$$ Esto nos genera un sistema de ecuaciones con las posiciones que dependen de $\alpha$: 1) $\alpha + \alpha^2 = \alpha \implies \alpha^2 = 0 \implies \alpha = 0$ 2) $\alpha^2 = \alpha \implies \alpha^2 - \alpha = 0 \implies \alpha(\alpha - 1) = 0 \implies \alpha = 0, \alpha = 1$ 3) $(1 - \alpha)^2 = 1 - \alpha \implies (1 - \alpha)^2 - (1 - \alpha) = 0 \implies (1 - \alpha)(1 - \alpha - 1) = 0 \implies (1 - \alpha)(-\alpha) = 0 \implies \alpha = 1, \alpha = 0$ Para que se cumplan **todas** las igualdades simultáneamente, el único valor posible es la intersección de las soluciones. El valor $\alpha = 1$ no es válido porque no cumple la primera ecuación ($1+1^2 \neq 1$). El valor $\alpha = 0$ cumple las tres ecuaciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 0}$$ 💡 **Tip:** No olvides que en una igualdad de matrices, **todos** los elementos deben ser iguales uno a uno.

**2.1.2 (1.25 puntos) En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de $A$. Obtener los valores de $\alpha$ para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de $\alpha$.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \alpha \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera columna (o aprovechando que es una matriz triangular por bloques): $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & 1 - \alpha \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \cdot (\alpha(1 - \alpha) - 0) = \alpha(1 - \alpha)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\alpha(1 - \alpha) = 0 \implies \alpha = 0 \text{ o } \alpha = 1$$ Por tanto, la inversa existe para todo $\alpha$ real excepto $0$ y $1$. ✅ **Resultado (Existencia):** $$\boxed{\exists A^{-1} \iff \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$. 1. **Matriz de adjuntos (cofactores):** - $A_{11} = +|\begin{smallmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & 1-\alpha \end{smallmatrix}| = \alpha(1-\alpha)$ - $A_{12} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1-\alpha \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{13} = +|\begin{smallmatrix} 0 & \alpha \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{21} = -|\begin{smallmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & 1-\alpha \end{smallmatrix}| = -\alpha(1-\alpha)$ - $A_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1-\alpha \end{smallmatrix}| = 1-\alpha$ - $A_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{31} = +|\begin{smallmatrix} \alpha & 0 \\ \alpha & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ - $A_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & \alpha \end{smallmatrix}| = \alpha$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & 0 & 0 \\ -\alpha(1-\alpha) & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$ 2. **Traspuesta de la adjunta:** $$(\text{Adj}(A))^T = \begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & -\alpha(1-\alpha) & 0 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$

Dividimos cada elemento de $( ext{Adj}(A))^T$ por el determinante $|A| = \alpha(1-\alpha)$: $$A^{-1} = \frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & -\alpha(1-\alpha) & 0 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$ Simplificamos los términos: - Elemento (1,1): $\frac{\alpha(1-\alpha)}{\alpha(1-\alpha)} = 1$ - Elemento (1,2): $\frac{-\alpha(1-\alpha)}{\alpha(1-\alpha)} = -1$ - Elemento (2,2): $\frac{1-\alpha}{\alpha(1-\alpha)} = \frac{1}{\alpha}$ - Elemento (3,3): $\frac{\alpha}{\alpha(1-\alpha)} = \frac{1}{1-\alpha}$ ✅ **Resultado (Matriz Inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{1-\alpha} \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar que el resultado es correcto verificando que $A \cdot A^{-1} = I$.