Probabilidad y Estadística 2025 Valencia
Probabilidad de preferencias de pizzas y distribución binomial
PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)
Una pizzería ofrece tres tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los años, utilizando su aplicación para teléfonos inteligentes, el restaurante ha recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40% de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el resto prefiere la pizza pepperoni.
1.1 (0.25 puntos) Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?
1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza?
Para mejorar su servicio y agilizar los tiempos de preparación, la pizzería decide considerar un grupo típico de 10 clientes con el objetivo de decidir cuántas pizzas margarita preparar con antelación y evitar retrasos durante las horas con más demanda, minimizando el desperdicio.
1.3 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita?
1.4 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita?
Paso 1
Definición de sucesos y probabilidad de pizza pepperoni
**1.1 (0.25 puntos) Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?**
Primero definimos los sucesos según el tipo de pizza elegida por un cliente:
- $M$: El cliente elige pizza margarita.
- $V$: El cliente elige pizza vegetariana.
- $P$: El cliente elige pizza pepperoni.
Del enunciado extraemos las probabilidades:
- $P(M) = 40\% = 0.40$
- $P(V) = 25\% = 0.25$
Como estos tres tipos de pizza cubren todas las opciones posibles (son sucesos incompatibles y su unión es el espacio muestral), la suma de sus probabilidades debe ser 1:
$$P(M) + P(V) + P(P) = 1$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$0.40 + 0.25 + P(P) = 1$$
$$0.65 + P(P) = 1$$
$$P(P) = 1 - 0.65 = 0.35$$
Representamos la situación con un diagrama de árbol sencillo:
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio siempre es igual a la unidad (1).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(P) = 0.35}$$
Paso 2
Probabilidad de que dos clientes elijan distintos tipos de pizza
**1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza?**
Suponemos que las elecciones de los clientes son independientes entre sí. Es más sencillo calcular primero la probabilidad del suceso contrario: que ambos elijan el **mismo** tipo de pizza.
Llamamos $C_1$ y $C_2$ a la elección del primer y segundo cliente respectivamente. El suceso "mismo tipo" ocurre si ambos piden Margarita, ambos Vegetariana o ambos Pepperoni:
$$P(\text{Mismo}) = P(M_1 \cap M_2) + P(V_1 \cap V_2) + P(P_1 \cap P_2)$$
Como son independientes:
$$P(\text{Mismo}) = (0.40)^2 + (0.25)^2 + (0.35)^2$$
$$P(\text{Mismo}) = 0.16 + 0.0625 + 0.1225 = 0.345$$
Ahora, calculamos la probabilidad de que sean distintos usando el suceso complementario:
$$P(\text{Distintos}) = 1 - P(\text{Mismo})$$
$$P(\text{Distintos}) = 1 - 0.345 = 0.655$$
💡 **Tip:** En problemas de combinaciones de elementos independientes, calcular el complementario suele simplificar los cálculos si el suceso directo tiene muchos casos posibles (MV, MP, VM, VP, PM, PV).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Distintos}) = 0.655}$$
Paso 3
Identificación de la distribución binomial
**1.3 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita?**
Estamos ante un experimento de Bernoulli que se repite $n=10$ veces (los 10 clientes).
- Definimos la variable aleatoria $X$: "número de clientes que piden pizza margarita en un grupo de 10".
- El éxito es pedir pizza margarita, con probabilidad $p = P(M) = 0.40$.
- El fracaso es no pedirla (pedir vegetariana o pepperoni), con probabilidad $q = 1 - p = 0.60$.
Por tanto, $X$ sigue una **distribución binomial**:
$$X \sim B(n=10, p=0.4)$$
La fórmula de la probabilidad para una distribución binomial es:
$$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$
Donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
💡 **Tip:** Identificamos una binomial cuando tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n$), cada uno con dos resultados posibles (éxito/fracaso) y probabilidad constante ($p$).
Paso 4
Cálculo para exactamente 4 clientes
Para hallar la probabilidad de que exactamente $k=4$ clientes pidan pizza margarita:
$$P(X=4) = \binom{10}{4} \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{10-4}$$
Calculamos el número combinatorio:
$$\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$$
Ahora calculamos las potencias:
$$(0.4)^4 = 0.0256$$
$$(0.6)^6 = 0.046656$$
Multiplicamos todo:
$$P(X=4) = 210 \cdot 0.0256 \cdot 0.046656 \approx 0.2508$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X=4) \approx 0.2508}$$
Paso 5
Cálculo de la probabilidad de 'al menos uno'
**1.4 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita?**
Queremos calcular $P(X \ge 1)$. Esto incluye los casos $X=1, X=2, \dots, X=10$. Es mucho más rápido utilizar el suceso contrario:
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$
Donde $P(X=0)$ es la probabilidad de que **ninguno** de los 10 clientes pida pizza margarita:
$$P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{10}$$
Como $\binom{10}{0} = 1$ y $(0.4)^0 = 1$:
$$P(X=0) = (0.6)^{10}$$
$$P(X=0) \approx 0.006047$$
Finalmente:
$$P(X \ge 1) = 1 - 0.006047 = 0.993953$$
💡 **Tip:** Siempre que veas la expresión "al menos uno", piensa inmediatamente en $1 - P(\text{ninguno})$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0.9940}$$