Estudio de función racional, gráficas y cálculo de área

**4.2.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.** Para la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$: **1. Dominio:** La función es racional. El denominador se anula cuando $x^2 = 0 \implies x = 0$. Por tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. **2. Asíntotas:** - **Verticales:** Estudiamos el límite en el punto que no pertenece al dominio: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x = 0$**. - **Horizontales:** Estudiamos los límites en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2} = 0$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 0$**. - **Oblicuas:** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, no hay asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** Recuerda que si el límite cuando $x \to a$ es infinito, hay una asíntota vertical en $x=a$. Si el límite cuando $x \to \infty$ es un número $L$, hay una asíntota horizontal en $y=L$.

Para hallar la monotonía, calculamos la primera derivada de $f(x) = x^{-2}$: $$f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $f'(x) = 0 \implies -2 \neq 0$ (No hay puntos críticos). Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & - \\\hline f(x) & \text{Creciente} & \text{A.V.} & \text{Decreciente} \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, elegimos $x=-1$: $f'(-1) = -2/(-1)^3 = 2 > 0$ (**Creciente**). - En $(0, +\infty)$, elegimos $x=1$: $f'(1) = -2/(1)^3 = -2 < 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom: } \mathbb{R} \setminus \{0\}; \text{ A.V: } x=0, \text{ A.H: } y=0; \text{ Creciente: } (-\infty, 0), \text{ Decreciente: } (0, +\infty)}$$

**4.2.2 (0.25 puntos) Dibujar las gráficas de ambas funciones.** - $f(x) = \frac{1}{x^2}$ es una función par (simétrica respecto al eje $Y$), siempre positiva, con asíntotas en los ejes. - $g(x) = 8x$ es una recta que pasa por el origen $(0,0)$ con pendiente positiva. Para facilitar el dibujo del recinto en el siguiente apartado, buscamos su punto de intersección: $$\frac{1}{x^2} = 8x \implies 1 = 8x^3 \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$$ En $x = 1/2$, ambas funciones valen $y = 8(1/2) = 4$.

**4.2.3 (1.75 puntos) Calcular el área del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta $x = 1$ y las gráficas de las dos funciones $y = f(x)$ e $y = g(x)$.** El recinto está limitado inferiormente por el eje $X$ ($y=0$). Superiormente, el límite cambia en el punto de corte $x = 1/2$: - Desde $x = 0$ hasta $x = 1/2$, la función superior es $g(x) = 8x$. - Desde $x = 1/2$ hasta $x = 1$, la función superior es $f(x) = \frac{1}{x^2}$. El área total $A$ será la suma de dos integrales: $$A = \int_{0}^{1/2} 8x \, dx + \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando un recinto está limitado por varias funciones, es fundamental dibujar la región para identificar correctamente los límites de integración y qué función va por encima de la otra.

Calculamos cada parte aplicando la regla de Barrow: **Primera parte ($A_1$):** $$\int_{0}^{1/2} 8x \, dx = \left[ \frac{8x^2}{2} \right]_{0}^{1/2} = \left[ 4x^2 \right]_{0}^{1/2} = 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4(0)^2 = 4\left(\frac{1}{4}\right) = 1 \text{ u}^2$$ **Segunda parte ($A_2$):** $$\int_{1/2}^{1} x^{-2} \, dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1/2}^{1} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1/2}^{1} = \left( -\frac{1}{1} \right) - \left( -\frac{1}{1/2} \right) = -1 + 2 = 1 \text{ u}^2$$ **Área Total:** $$A = A_1 + A_2 = 1 + 1 = 2 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2 \text{ unidades cuadradas}}$$