Estudio completo de una función racional

**4.1.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.** Para hallar el **dominio**, buscamos los valores que anulan el denominador: $$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$$ Como no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, el denominador nunca se anula. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$ **Asíntotas Verticales (AV):** Al no haber puntos fuera del dominio, **no existen asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0$$ Ya que el grado del denominador (2) es mayor que el del numerador (1). $$\boxed{\text{AH: } y = 0}$$ **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite en el infinito siempre es 0.

Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, \quad x = -1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos (el denominador siempre es positivo): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(-1, 1)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-1, 1); \text{ Decreciente en } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

**4.1.2 (1.5 puntos) Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función $f$.** A partir del estudio de la monotonía en el paso anterior: - En $x = -1$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. - En $x = 1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos las ordenadas: $$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2} = -0.5$$ $$f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** Un extremo relativo existe donde la derivada se anula y hay un cambio de signo en la misma.

Para determinar los extremos absolutos en el dominio $\mathbb{R}$, comparamos los valores en los extremos relativos con el comportamiento en el infinito: 1. Sabemos que $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$. 2. El valor más alto alcanzado es $f(1) = 0.5$. 3. El valor más bajo alcanzado es $f(-1) = -0.5$. Como $0.5 \gt 0$ y $-0.5 \lt 0$, los extremos relativos son también absolutos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto: } (1, 0.5); \quad \text{Mínimo absoluto: } (-1, -0.5)}$$

**4.1.3 (0.5 puntos) Representar la función $f$.** Utilizamos toda la información obtenida: - Dominio: $\mathbb{R}$. - Puntos de corte: Si $x=0, f(0)=0$. Pasa por $(0,0)$. - Asíntota horizontal: $y=0$. - Extremos: Mínimo en $(-1, -0.5)$ y Máximo en $(1, 0.5)$. - Simetría: $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -f(x)$. Es una función **impar** (simetría respecto al origen). Representamos la curva uniendo suavemente estos puntos siguiendo la monotonía calculada.