Recta contenida en un plano y punto simétrico

**3.2.1 (1.25 puntos) Los valores del parámetro $a$, si existen, para los que la recta que pasa por $P$ y $Q$ está contenida en el plano $\pi$.** Para que la recta $r$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ esté contenida en el plano $\pi$, ambos puntos deben pertenecer obligatoriamente al plano. Primero, comprobamos si el punto $P(0, 1, -1)$ pertenece a $\pi: 3x + y - z = 2$: $$3(0) + (1) - (-1) = 0 + 1 + 1 = 2$$ Como $2 = 2$, el punto **$P$ siempre pertenece al plano** independientemente del valor de $a$. 💡 **Tip:** Una recta está contenida en un plano si al menos dos de sus puntos pertenecen a dicho plano.

Ahora, imponemos que el punto $Q(1, a, 1)$ también pertenezca al plano $\pi$: $$3(1) + (a) - (1) = 2$$ $$3 + a - 1 = 2$$ $$2 + a = 2$$ $$a = 0$$ Si $a=0$, tanto $P$ como $Q$ están en el plano, por lo que el vector director $\vec{PQ}$ será paralelo al plano y la recta estará íntegramente contenida en él. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0}$$

**3.2.2 (1.25 puntos) Para $a = 1$, el punto simétrico de $Q$ respecto del plano $\pi$.** Si $a=1$, el punto es $Q(1, 1, 1)$. Para hallar su simétrico $Q'$ respecto al plano $\pi: 3x + y - z = 2$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $Q$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ (este será el punto medio entre $Q$ y $Q'$). 3. Calcular $Q'$ sabiendo que $M$ es el punto medio. El vector normal del plano es $\vec{n_\pi} = (3, 1, -1)$. Este vector será el vector director de nuestra recta perpendicular $r$: $$r: \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $\vec{n}=(A,B,C)$.

Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi$ para encontrar el valor de $\lambda$ del punto de corte $M$: $$3(1 + 3\lambda) + (1 + \lambda) - (1 - \lambda) = 2$$ $$3 + 9\lambda + 1 + \lambda - 1 + \lambda = 2$$ $$11\lambda + 3 = 2$$ $$11\lambda = -1 \implies \lambda = -\frac{1}{11}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x_M = 1 + 3\left(-\frac{1}{11}\right) = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$$ $$y_M = 1 + \left(-\frac{1}{11}\right) = \frac{10}{11}$$ $$z_M = 1 - \left(-\frac{1}{11}\right) = 1 + \frac{1}{11} = \frac{12}{11}$$ Por tanto, el punto de intersección es $M\left(\frac{8}{11}, \frac{10}{11}, \frac{12}{11}\right)$.

Siendo $Q'$ el punto simétrico $(x', y', z')$, se cumple que $M$ es el punto medio del segmento $QQ'$: $$M = \frac{Q + Q'}{2} \implies Q' = 2M - Q$$ Operamos para cada coordenada: $$x' = 2\left(\frac{8}{11}\right) - 1 = \frac{16}{11} - \frac{11}{11} = \frac{5}{11}$$ $$y' = 2\left(\frac{10}{11}\right) - 1 = \frac{20}{11} - \frac{11}{11} = \frac{9}{11}$$ $$z' = 2\left(\frac{12}{11}\right) - 1 = \frac{24}{11} - \frac{11}{11} = \frac{13}{11}$$ 💡 **Tip:** No utilices fórmulas directas de simetría, es mejor entender el concepto de punto medio $M$ proyectado sobre el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q' = \left( \frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11} \right)}$$