Intersección y ángulos entre planos con parámetros

**3.1.1 (0.5 puntos) Encontrar el valor de $m$, si existe, para el que $\pi_1$ y $\pi_2$ son perpendiculares.** Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales también lo son. El vector normal de un plano viene dado por los coeficientes de sus variables $(x, y, z)$. Identificamos los vectores normales de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$\vec{n}_1 = (1, 2, m)$$ $$\vec{n}_2 = (1, 0, 1)$$ Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$$ $$(1, 2, m) \cdot (1, 0, 1) = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + m \cdot 1 = 1 + m$$ Igualamos a cero y despejamos $m$: $$1 + m = 0 \implies m = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -1}$$

**3.1.2 (1.25 puntos) Encontrar el valor de $m$ para el que $\pi_1$ y $\pi_2$ forman un ángulo de 45 grados.** El ángulo $\alpha$ entre dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales, definido por la fórmula: $$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$ Sabemos que $\alpha = 45^\circ$, por lo que $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Calculamos los elementos de la fórmula: 1. Producto escalar: $|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| = |1 + m|$ 2. Módulo de $\vec{n}_1$: $|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + m^2} = \sqrt{5 + m^2}$ 3. Módulo de $\vec{n}_2$: $|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ Sustituimos en la ecuación: $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|1 + m|}{\sqrt{5 + m^2} \cdot \sqrt{2}}$$ Para resolver, elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz y el valor absoluto: $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(1 + m)^2}{(5 + m^2) \cdot 2} \implies \frac{2}{4} = \frac{1 + 2m + m^2}{2(5 + m^2)}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{1 + 2m + m^2}{2(5 + m^2)}$$ Multiplicamos en cruz: $$2(5 + m^2) = 2(1 + 2m + m^2) \implies 5 + m^2 = 1 + 2m + m^2$$ $$5 = 1 + 2m \implies 4 = 2m \implies m = 2$$ 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado, asegúrate de comprobar que el valor obtenido tenga sentido en la ecuación original (en este caso, $1+m$ debe ser positivo para que el coseno sea positivo, y $1+2=3>0$, lo cual es correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 2}$$

**3.1.3 (0.75 puntos) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$.** La recta intersección $r$ viene dada por el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos. Como el enunciado no especifica un valor de $m$, resolveremos en función del parámetro $m$. $$r: \begin{cases} x + 2y + mz = -1 \\ x + z = 6 \end{cases}$$ Para obtener las ecuaciones paramétricas, expresamos dos de las variables en función de una tercera que actuará como parámetro $\lambda$. Tomamos $z = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $x = 6 - z \implies x = 6 - \lambda$ 2. Sustituimos $x$ y $z$ en la primera ecuación: $$(6 - \lambda) + 2y + m\lambda = -1$$ $$2y = -1 - 6 + \lambda - m\lambda$$ $$2y = -7 + (1 - m)\lambda \implies y = -\frac{7}{2} + \frac{1 - m}{2}\lambda$$ 💡 **Tip:** Una forma alternativa es calcular el vector director de la recta mediante el producto vectorial de los normales $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ y buscar un punto contenido en ambos planos. Escribimos la solución en el formato estándar de ecuaciones paramétricas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 6 - \lambda \\ y = -\frac{7}{2} + \frac{1 - m}{2}\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$