Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**2.2.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$.** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -a & -1 & -a \\ a & -1 & 1 & a \\ a & 1 & 0 & a \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** La discusión se basa en comparar el rango de $A$ y el de $A^*$ utilizando el Teorema de Rouché-Capelli.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{vmatrix} = [(1)(-1)(0) + (-a)(1)(a) + (-1)(a)(1)] - [(-1)(-1)(a) + (1)(1)(1) + (-a)(a)(0)]$$ $$\det(A) = [0 - a^2 - a] - [a + 1 + 0] = -a^2 - a - a - 1 = -a^2 - 2a - 1$$ Factorizamos la expresión resultante: $$-a^2 - 2a - 1 = -(a^2 + 2a + 1) = -(a+1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-(a+1)^2 = 0 \implies a+1 = 0 \implies a = -1$$

Analizamos los rangos basándonos en el valor obtenido: **Caso 1: $a \neq -1$** Si $a \neq -1$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Por tanto, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única.

Analizamos el rango cuando el parámetro toma el valor crítico: **Caso 2: $a = -1$** Sustituimos $a = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$$ Como $\det(A) = 0$, el rango de $A$ es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Observamos las filas de $A^*$: La fila 2 ($F_2$) es exactamente la fila 1 ($F_1$) multiplicada por $-1$ ($F_2 = -F_1$). Esto implica que el rango de la matriz ampliada también es 2: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, lo que significa que tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado final de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq -1: \text{SCD} \\ \text{Si } a = -1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**2.2.2 (1.25 puntos) Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de $a$ para los que el sistema es compatible determinado.** Como hemos visto, el sistema es SCD cuando $a \neq -1$. Vamos a resolverlo utilizando la **Regla de Cramer**. Ya sabemos que el determinante general es $\Delta = -(a+1)^2$. Calculamos el determinante de $x$ ($\Delta_x$): $$\Delta_x = \begin{vmatrix} -a & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{vmatrix} = [0 - a^2 - a] - [a - a + 0] = -a^2 - a = -a(a+1)$$ $$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-a(a+1)}{-(a+1)^2} = \frac{a}{a+1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la regla de Cramer, sustituimos la columna de la incógnita que queremos hallar por la columna de términos independientes.

Calculamos el determinante de $y$ ($\Delta_y$): $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & a & 1 \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = [0 - a^2 - a^2] - [-a^2 + a + 0] = -2a^2 + a^2 - a = -a^2 - a = -a(a+1)$$ $$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-a(a+1)}{-(a+1)^2} = \frac{a}{a+1}$$ Calculamos el determinante de $z$ ($\Delta_z$): $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -a & -a \\ a & -1 & a \\ a & 1 & a \end{vmatrix} = [-a - a^3 - a^2] - [a^2 + a - a^3] = -a - a^3 - a^2 - a^2 - a + a^3 = -2a^2 - 2a = -2a(a+1)$$ $$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-2a(a+1)}{-(a+1)^2} = \frac{2a}{a+1}$$ ✅ **Resultado final (conjunto de soluciones):** $$\boxed{x = \frac{a}{a+1}, \quad y = \frac{a}{a+1}, \quad z = \frac{2a}{a+1}}$$