Ecuaciones matriciales y potencias de matrices

**2.1.1 (1.25 puntos) La matriz $X$ solución de la ecuación $(A^{-1} X)^{-1} = A(B^2 A)^{-1}$.** Antes de operar con los elementos de las matrices, simplificamos la expresión utilizando las propiedades de la matriz inversa $(M \cdot N)^{-1} = N^{-1} \cdot M^{-1}$ y $(M^{-1})^{-1} = M$. Lado izquierdo de la ecuación: $$(A^{-1} X)^{-1} = X^{-1} (A^{-1})^{-1} = X^{-1} A$$ Lado derecho de la ecuación: $$A(B^2 A)^{-1} = A(A^{-1} (B^2)^{-1}) = (A A^{-1}) (B^2)^{-1} = I \cdot (B^2)^{-1} = (B^2)^{-1}$$ Igualando ambas expresiones: $$X^{-1} A = (B^2)^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el orden de los factores es crucial en el producto de matrices. Al aplicar la inversa a un producto, el orden se invierte.

Partimos de $X^{-1} A = (B^2)^{-1}$. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha en ambos lados: $$X^{-1} A A^{-1} = (B^2)^{-1} A^{-1} \implies X^{-1} = (B^2)^{-1} A^{-1}$$ Ahora, tomamos la inversa en ambos miembros para despejar $X$: $$X = ((B^2)^{-1} A^{-1})^{-1}$$ Aplicando de nuevo la propiedad de la inversa de un producto: $$X = (A^{-1})^{-1} ((B^2)^{-1})^{-1} = A B^2$$ Por tanto, para hallar $X$ solo necesitamos calcular $A \cdot B^2$. 💡 **Tip:** Si logras simplificar la ecuación algebraicamente antes de sustituir, ahorrarás mucho tiempo y evitarás errores de cálculo con elementos individuales.

Calculamos primero $B^2$: $$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2-2 \\ 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $B^2 = I$, la matriz $X$ es: $$X = A \cdot B^2 = A \cdot I = A$$ Sustituyendo el valor de $A$: $$X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}}$$

**2.1.2 (0.5 puntos) El determinante de la matriz $(3 A^5 B)^2$.** Utilizaremos las siguientes propiedades de los determinantes para una matriz $M$ de orden $n=2$: 1. $|M^k| = |M|^k$ 2. $|k \cdot M| = k^n |M|$ 3. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ Entonces: $$|(3 A^5 B)^2| = |3 A^5 B|^2 = (3^2 |A^5 B|)^2 = (9 |A|^5 |B|)^2 = 81 |A|^{10} |B|^2$$ Calculamos los determinantes de $A$ y $B$: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$$ $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (2)(0) = -1$$ Sustituimos los valores: $$|(3 A^5 B)^2| = 81 \cdot (1)^{10} \cdot (-1)^2 = 81 \cdot 1 \cdot 1 = 81$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|(3 A^5 B)^2| = 81}$$

**2.1.3 (0.75 puntos) Los valores de $a$ y $b$, si existen, tales que $aB^{100} + bB^{99} = A + C$.** En el apartado 2.1.1 vimos que $B^2 = I$. Esto implica que las potencias de $B$ son cíclicas: - $B^{100} = (B^2)^{50} = I^{50} = I$ - $B^{99} = B^{98} \cdot B = (B^2)^{49} \cdot B = I \cdot B = B$ Calculamos la suma $A + C$: $$A + C = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Sustituimos en la ecuación original: $$aI + bB = I$$ 💡 **Tip:** Cuando una matriz al cuadrado da la identidad ($B^2=I$), se dice que es una matriz involutiva. Sus potencias pares son $I$ y las impares son la propia matriz $B$.

Escribimos la ecuación $aI + bB = I$ de forma matricial: $$a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a+b & 2b \\ 0 & a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Igualamos término a término para obtener un sistema de ecuaciones: 1. $a + b = 1$ 2. $2b = 0$ 3. $0 = 0$ (siempre se cumple) 4. $a - b = 1$ De la ecuación (2), obtenemos inmediatamente **$b = 0$**. Sustituyendo $b = 0$ en la ecuación (1): $$a + 0 = 1 \implies a = 1$$ Sustituyendo en la ecuación (4) para comprobar: $$1 - 0 = 1$$ (se cumple). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 0}$$