Distribución Binomial: Publicaciones en TikiTak

**1.1 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de publicaciones que reciben un "Like". Estamos ante un experimento de Bernoulli (cada publicación recibe o no un like) que se repite $n=4$ veces de forma independiente. Por tanto, $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(n, p)$$ Donde: - $n = 4$ (número de publicaciones). - $p = P(\text{Like}) = \frac{3}{5} = 0.6$ (probabilidad de éxito). - $q = 1 - p = \frac{2}{5} = 0.4$ (probabilidad de fracaso). La fórmula de la probabilidad binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para el apartado 1.1, buscamos la probabilidad de que no reciba ningún like, es decir, $P(X=0)$: $$P(X=0) = \binom{4}{0} \cdot 0.6^0 \cdot 0.4^4$$ $$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0256 = 0.0256$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{0} = 1$ siempre, y cualquier número elevado a 0 es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=0) = 0.0256}$$

**1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones?** Que no reciba "más de dos" significa que puede recibir 0, 1 o 2 likes. Matemáticamente, buscamos $P(X \le 2)$: $$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$ Ya conocemos $P(X=0) = 0.0256$. Calculamos el resto: 1. Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot 0.6^1 \cdot 0.4^3 = 4 \cdot 0.6 \cdot 0.064 = 0.1536$$ 2. Para $k=2$: $$P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0.6^2 \cdot 0.4^2 = 6 \cdot 0.36 \cdot 0.16 = 0.3456$$ Sumamos todas las probabilidades: $$P(X \le 2) = 0.0256 + 0.1536 + 0.3456 = 0.5248$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$. Asegúrate de calcular bien las potencias de los decimales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 2) = 0.5248}$$

**1.3 (1 punto) Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que 0.999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?** En este caso, el número de publicaciones $n$ es desconocido. Queremos que: $$P(X \ge 1) \gt 0.999$$ Usamos el suceso contrario para simplificar, ya que $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$: $$1 - P(X=0) \gt 0.999$$ $$1 - 0.4^n \gt 0.999$$ Despejamos el término con la incógnita: $$1 - 0.999 \gt 0.4^n \implies 0.001 \gt 0.4^n$$ Para resolver esta inecuación con la incógnita en el exponente, aplicamos **logaritmos** (usaremos logaritmo neperiano $\ln$): $$\ln(0.001) \gt \ln(0.4^n)$$ $$\ln(0.001) \gt n \cdot \ln(0.4)$$ Ahora despejamos $n$. Atención: como $\ln(0.4)$ es un número negativo, al dividir por él **cambia el sentido de la desigualdad**: $$n \gt \frac{\ln(0.001)}{\ln(0.4)}$$ $$n \gt \frac{-6.9077}{-0.9163} \approx 7.538$$ Como $n$ debe ser un número entero de publicaciones, el primer valor que cumple la condición es $n = 8$. 💡 **Tip:** Cuando trabajes con inecuaciones y logaritmos de números entre 0 y 1, recuerda que el logaritmo es negativo y altera el sentido de la desigualdad al dividir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 8 \text{ publicaciones}}$$