Recta perpendicular a otra y posición relativa de planos

**a) (1,25 puntos) Dala la recta $r, r \equiv x - 2 = y + 1 = -z$, calcula la ecuación de la recta $s$ que corta a $r$ perpendicularmente y que pasa por $Q = (2, -2, 1)$.** Para que la recta $s$ pase por $Q$ y corte a $r$ perpendicularmente, debe pasar por $Q$ y por un punto $P$ de la recta $r$ tal que el vector $\vec{QP}$ sea perpendicular al vector director de $r$. Primero, obtenemos el vector director y un punto genérico de $r$ expresándola en su forma continua: $$r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$$ De aquí extraemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 1, -1)$ - Punto genérico de $r$ en paramétricas: $P(\lambda) = (2+\lambda, -1+\lambda, -\lambda)$ 💡 **Tip:** Para encontrar una recta que corta a otra perpendicularmente desde un punto, el método más directo es proyectar el punto sobre la recta o usar un plano auxiliar perpendicular a la recta.

Utilizaremos un plano auxiliar $\pi$ que pase por $Q$ y sea perpendicular a $r$. La intersección de este plano con $r$ será el punto $P$ donde las rectas se cortan. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta, $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 1, -1)$. La ecuación del plano será: $$1(x - 2) + 1(y + 2) - 1(z - 1) = 0$$ $$x - 2 + y + 2 - z + 1 = 0 \implies x + y - z + 1 = 0$$ Ahora hallamos el punto de corte $P$ sustituyendo las coordenadas genéricas de $r$ en el plano: $$(2 + \lambda) + (-1 + \lambda) - (-\lambda) + 1 = 0$$ $$2 + \lambda - 1 + \lambda + \lambda + 1 = 0$$ $$3\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -\frac{2}{3}$$ Sustituimos $\lambda$ en el punto genérico para hallar $P$: $$P = \left(2 - \frac{2}{3}, -1 - \frac{2}{3}, -\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = \left(\frac{4}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$$ 💡 **Tip:** El punto $P$ es el "pie de la perpendicular" de $Q$ sobre $r$.

La recta $s$ pasa por $Q(2, -2, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_s = \vec{QP}$: $$\vec{QP} = P - Q = \left(\frac{4}{3} - 2, -\frac{5}{3} - (-2), \frac{2}{3} - 1\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)$$ Para trabajar con números enteros, podemos multiplicar el vector por $-3$, obteniendo un vector proporcional: $$\vec{v}_s = (2, -1, 1)$$ La ecuación continua de la recta $s$ es: $$\boxed{s \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{1}}$$

**b) Dados los planos $\pi_1: mx + 2y - 3z - 1 = 0$ y $\pi_2: 2x - 4y + 6z + 5 = 0$ halla los valores de $m$ para que sean:** **i) paralelos.** Los vectores normales de los planos son: $$\vec{n}_1 = (m, 2, -3)$$ $$\vec{n}_2 = (2, -4, 6)$$ Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales: $$\frac{m}{2} = \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6}$$ Simplificando las fracciones constantes: $$\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$ Igualamos la primera fracción: $$\frac{m}{2} = -\frac{1}{2} \implies m = -1$$ Como los términos independientes no cumplen la misma proporción ($-1/5 \neq -1/2$), los planos son paralelos y no coincidentes. ✅ **Resultado i):** $$\boxed{m = -1}$$

**ii) perpendiculares.** Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es igual a cero: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$$ $$(m, 2, -3) \cdot (2, -4, 6) = 0$$ Realizamos la operación paso a paso: $$m \cdot 2 + 2 \cdot (-4) + (-3) \cdot 6 = 0$$ $$2m - 8 - 18 = 0$$ $$2m - 26 = 0$$ $$2m = 26 \implies m = 13$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$. ✅ **Resultado ii):** $$\boxed{m = 13}$$