Intersección de rectas y plano de simetría

**a) (1,25 puntos) Obtén el valor del $m$ para el cual las rectas $r \equiv x = y = z - m$ y $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{2y}{3} = 2z - 2$ se cortan. Calcula el punto de corte de $r$ y $s$ para el valor de $m$ calculado.** Primero, identificamos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$: La ecuación $x = y = z - m$ se puede escribir como: $$\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-m}{1}$$ - Punto $P_r = (0, 0, m)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ Para la recta $s$: Reescribimos la ecuación en forma continua estándar $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$: $$\frac{x-1}{2} = \frac{y}{3/2} = \frac{z-1}{1/2}$$ Multiplicamos los denominadores por 2 para trabajar con números enteros: - Vector director $\vec{v}_s = (4, 3, 1)$ - Punto $P_s = (1, 0, 1)$ 💡 **Tip:** Para que una recta esté en forma continua estándar, los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ en el numerador deben ser igual a 1. Por ejemplo, $2z - 2 = 2(z-1) = \frac{z-1}{1/2}$.

Para que las rectas se corten, los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une los puntos $\vec{P_r P_s}$ deben ser coplanarios (rango 2), ya que los vectores directores no son paralelos. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-0, 0-0, 1-m) = (1, 0, 1-m)$$ Como $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{3}$, los vectores directores no son proporcionales, por lo que las rectas no son paralelas. Para que se corten, el determinante de la matriz formada por los tres vectores debe ser cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1-m \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por Sarrus: $$[1 \cdot 3 \cdot (1-m) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 0] - [1 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1 + (1-m) \cdot 4 \cdot 1] = 0$$ $$[3 - 3m + 1 + 0] - [3 + 0 + 4 - 4m] = 0$$ $$4 - 3m - (7 - 4m) = 0$$ $$4 - 3m - 7 + 4m = 0 \implies m - 3 = 0$$ $$\boxed{m = 3}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es 0 y los vectores directores no son paralelos, las rectas se cortan en un punto. Si el determinante fuera distinto de 0, las rectas se cruzarían.

Para $m=3$, las rectas son: $r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda + 3 \end{cases} \quad s: \begin{cases} x = 1 + 4\mu \\ y = 3\mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$ Igualamos las componentes $x$ e $y$: 1) $\lambda = 1 + 4\mu$ 2) $\lambda = 3\mu$ Sustituyendo (2) en (1): $$3\mu = 1 + 4\mu \implies -\mu = 1 \implies \mu = -1$$ Sustituimos $\mu = -1$ en la recta $s$ para hallar el punto $I$: $x = 1 + 4(-1) = -3$ $y = 3(-1) = -3$ $z = 1 + (-1) = 0$ Comprobamos con la tercera componente de $r$: si $\mu = -1$, entonces $\lambda = -3$. En $r$, $z = -3 + 3 = 0$. Coincide. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{I(-3, -3, 0)}$$

**b) (1,25 puntos) Se consideran los puntos $P = (0, 2, -1)$ y $Q = (2, -2, 1)$. Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.** Si $P$ y $Q$ son simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano es el **plano mediador** del segmento $PQ$. Esto implica dos condiciones: 1. El plano pasa por el punto medio $M$ del segmento $PQ$. 2. El vector $\vec{PQ}$ es perpendicular al plano (es decir, es su vector normal $\vec{n}_\pi$).

Calculamos el punto medio $M$: $$M = \frac{P + Q}{2} = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{2-2}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = (1, 0, 0)$$ Calculamos el vector normal $\vec{n}_\pi$ a partir de $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (2-0, -2-2, 1-(-1)) = (2, -4, 2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El plano que hace que dos puntos sean simétricos es siempre el plano perpendicular al segmento que los une pasando por su punto medio.

La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal $(1, -2, 1)$: $$1x - 2y + 1z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto medio $M(1, 0, 0)$ que pertenece al plano: $$1(1) - 2(0) + 1(0) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$x - 2y + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 2y + z - 1 = 0}$$