Rango de matrices con parámetros y sistemas homogéneos

**a) (1,25 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, estudia el rango de la matriz $A - \lambda I$, según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.** Primero, construimos la matriz $M = A - \lambda I$ restando $\lambda$ a los elementos de la diagonal principal de $A$: $$M = A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & -1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz identidad $I$ tiene unos en la diagonal y ceros en el resto. Al hacer $A - \lambda I$, solo se ven afectados los elementos $a_{ii}$.

Para estudiar el rango, calculamos el determinante de la matriz resultante. Dado que la segunda columna tiene dos ceros, desarrollamos por ella: $$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & -1 \\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) \cdot \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante de orden 2: $$|A - \lambda I| = (1-\lambda) \cdot [(1-\lambda)(3-\lambda) - 1]$$ $$|A - \lambda I| = (1-\lambda) \cdot [3 - \lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 1] = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: 1. $1 - \lambda = 0 \implies \mathbf{\lambda = 1}$ 2. $\lambda^2 - 4\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = \mathbf{2 \pm \sqrt{2}}$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Analizamos los distintos casos: - **Caso 1: $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2 \pm \sqrt{2}$** En este caso, $|A - \lambda I| \neq 0$. Por tanto, el rango es máximo. $$\mathbf{rg(A - \lambda I) = 3}$$ - **Caso 2: $\lambda = 1$** La matriz es $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \mathbf{rg(A - \lambda I) = 2}$$ - **Caso 3: $\lambda = 2 \pm \sqrt{2}$** El determinante es 0. En la matriz $M$, el menor formado por las filas 1 y 2, y columnas 1 y 3 es: $$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1-\lambda) - 1 = -1 + \lambda - 1 = \lambda - 2$$ Como $\lambda = 2 \pm \sqrt{2}$, entonces $\lambda - 2 = \pm \sqrt{2} \neq 0$. Por tanto, hay un menor de orden 2 no nulo. $$\mathbf{rg(A - \lambda I) = 2}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2}\}, & rg(A-\lambda I) = 3 \\ \text{Si } \lambda \in \{1, 2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2}\}, & rg(A-\lambda I) = 2 \end{cases}}$$

**b) (1,25 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}$, calcula su determinante.** Para calcular $|A|$, observamos que la cuarta fila tiene dos ceros, por lo que desarrollamos por los elementos de dicha fila: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \end{vmatrix} = a_{43}A_{43} + a_{44}A_{44}$$ $$|A| = 4 \cdot (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los determinantes $3 \times 3$ por Sarrus: 1. $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 0 + 0) - (0 + 1 - 4) = 2 - (-3) = 5$ 2. $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 + 0 + 4) - (0 + 3 + 2) = 3 - 5 = -2$ Sustituimos: $$|A| = 4 \cdot (-1) \cdot (5) + (-1) \cdot (1) \cdot (-2) = -20 + 2 = -18$$ ✅ **Resultado determinante:** $$\boxed{|A| = -18}$$

**¿Qué solución tiene el sistema $AX = b$ siendo $b = (0, 0, 0, 0)^T$?** El sistema $AX = 0$ es un **sistema homogéneo**. Todo sistema homogéneo es compatible (siempre tiene al menos la solución trivial). Según el Teorema de Rouché-Frobenius: - Como el determinante $|A| = -18 \neq 0$, la matriz $A$ tiene rango máximo: $rg(A) = 4$. - El número de incógnitas es $n = 4$. - Como $rg(A) = n = 4$, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que la única solución posible es la **solución trivial**: $$\mathbf{x = 0, y = 0, z = 0, w = 0}$$ O expresado vectorialmente: $$\mathbf{X = (0, 0, 0, 0)^T}$$ 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, el sistema solo admite la solución donde todas las variables valen cero. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{|A| = -18; \text{ Solución única: } (0, 0, 0, 0)^T}$$