Sistemas de ecuaciones con parámetros y álgebra matricial

**a) (1,25 puntos) Dado el sistema de ecuaciones homogéneo $$ \begin{cases} 3x + y - z = 0 \\ 3x + 2y - mz = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ indica para qué valores de $m$ el sistema tiene solamente la solución trivial. Resuelve el sistema anterior para un valor de $m$ que lo haga compatible indeterminado.** Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Para que **solo** tenga la solución trivial, el determinante de la matriz de coeficientes $M$ debe ser distinto de cero (Sistema Compatible Determinado). Escribimos la matriz de coeficientes: $$M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -m \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -m \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [3 \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-m) \cdot 1 + (-1) \cdot 3 \cdot (-1)] - [1 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-m) \cdot 3 + (-1) \cdot 3 \cdot 1]$$ $$|M| = [-6 - m + 3] - [-2 + 3m - 3] = -m - 3 - (3m - 5) = -m - 3 - 3m + 5 = -4m + 2$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas tiene solución única (la trivial) si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-4m + 2 = 0 \implies 4m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$$ **Estudio de casos según el Teorema de Rouché-Frobenius:** 1. **Si $m \neq \frac{1}{2}$**: El $|M| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz es $rg(M) = 3$. Como coincide con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado**. En sistemas homogéneos, esto significa que la única solución es la **trivial**. 2. **Si $m = \frac{1}{2}$**: El $|M| = 0$, por lo que $rg(M) < 3$. Al ser un sistema homogéneo, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado (valores para solución trivial):** $$\boxed{m \neq \frac{1}{2}}$$

Resolvemos para $m = \frac{1}{2}$, que es el valor que hace el sistema Compatible Indeterminado. El sistema queda: $$ \begin{cases} 3x + y - z = 0 \\ 3x + 2y - \frac{1}{2}z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ Como $rg(M)=2$ (por ejemplo, el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$), podemos eliminar una ecuación (la segunda) y parametrizar una incógnita. Usamos la primera y la tercera: $$ \begin{cases} 3x + y = z \\ x - y = z \end{cases} $$ Sumamos ambas ecuaciones: $$4x = 2z \implies x = \frac{1}{2}z$$ Sustituimos $x$ en la tercera ecuación: $$\frac{1}{2}z - y = z \implies y = \frac{1}{2}z - z = -\frac{1}{2}z$$ Si llamamos $z = 2\lambda$ para evitar fracciones, obtenemos: ✅ **Resultado (solución para $m=1/2$):** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) (1,25 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, resuelve el sistema $$ \left(A - \frac{1}{3}A^T\right) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} $$ donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$.** Primero, calculamos la matriz traspuesta $A^T$ y luego la operación matricial pedida. $$A^T = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} \implies \frac{1}{3}A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $B = A - \frac{1}{3}A^T$: $$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & 0-1 & 0-1 \\ 3-0 & 3-1 & 3-0 \\ 3-0 & 0-1 & 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la traspuesta de una matriz se obtiene cambiando filas por columnas.

El sistema matricial $B \cdot X = V$ se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$ \begin{cases} 2x - y - z = 0 & (1) \\ 3x + 2y + 3z = 7 & (2) \\ 3x - y = 1 & (3) \end{cases} $$ De la ecuación (3), despejamos $y$: $$y = 3x - 1$$ Sustituimos $y$ en la ecuación (1) para despejar $z$: $$2x - (3x - 1) - z = 0 \implies 2x - 3x + 1 = z \implies z = 1 - x$$ Sustituimos $y$ y $z$ en la ecuación (2): $$3x + 2(3x - 1) + 3(1 - x) = 7$$ $$3x + 6x - 2 + 3 - 3x = 7$$ $$6x + 1 = 7 \implies 6x = 6 \implies x = 1$$ Ahora hallamos los valores de $y$ y $z$: $$y = 3(1) - 1 = 2$$ $$z = 1 - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (solución del sistema):** $$\boxed{x = 1, \quad y = 2, \quad z = 0}$$