Cálculo de parámetros y área entre curvas

**2.2 (2,5 puntos) Sea la función $f(x) = -x^2 + \alpha x + 11$, donde $\alpha$ es un parámetro real. Calcula el valor de $\alpha$ para que $f(x)$ tenga un máximo relativo en $x = 1/2$.** Para que la función tenga un extremo relativo (máximo o mínimo) en $x = 1/2$, su primera derivada en ese punto debe ser igual a cero ($f'(1/2) = 0$). Calculamos la derivada de la función: $$f(x) = -x^2 + \alpha x + 11 \implies f'(x) = -2x + \alpha$$ Imponemos la condición de extremo en $x = 1/2$: $$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies -2\left(\frac{1}{2}\right) + \alpha = 0$$ $$-1 + \alpha = 0 \implies \alpha = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un máximo relativo, además de anularse la primera derivada, la segunda derivada en dicho punto debe ser negativa ($f''(x) \lt 0$). Comprobamos que se trata de un máximo mediante la segunda derivada: $$f''(x) = -2$$ Como $f''(1/2) = -2 \lt 0$, confirmamos que en $x = 1/2$ existe un **máximo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 1}$$

**Para ese valor de $\alpha$ calcula el área encerrada entre las gráficas $f(x)$ y $f'(x)$.** Sustituimos $\alpha = 1$ en las expresiones de la función y su derivada: $$f(x) = -x^2 + x + 11$$ $$f'(x) = -2x + 1$$ Para hallar el área encerrada entre dos curvas, primero debemos encontrar sus puntos de corte igualando ambas funciones: $$f(x) = f'(x) \implies -x^2 + x + 11 = -2x + 1$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para resolver la ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 3x + 10 = 0 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$x = \frac{3 \pm 7}{2} \implies \begin{cases} x_1 = 5 \\ x_2 = -2 \end{cases}$$ Los límites de integración para el cálculo del área serán **$x = -2$** y **$x = 5$**.

El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la diferencia de las funciones entre los puntos de corte: $$A = \int_{-2}^{5} |f(x) - f'(x)| \, dx$$ Determinamos cuál es la función "techo" y cuál la "suelo" evaluando un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: $f(0) = 11$ $f'(0) = 1$ Como $f(0) \gt f'(0)$, en el intervalo $(-2, 5)$ la función $f(x)$ está por encima de $f'(x)$. $$A = \int_{-2}^{5} [(-x^2 + x + 11) - (-2x + 1)] \, dx = \int_{-2}^{5} (-x^2 + 3x + 10) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$G(x) = \int (-x^2 + 3x + 10) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 10x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 10x \right]_{-2}^{5} = G(5) - G(-2)$$ Operamos paso a paso: $$G(5) = -\frac{5^3}{3} + \frac{3 \cdot 5^2}{2} + 10 \cdot 5 = -\frac{125}{3} + \frac{75}{2} + 50 = \frac{-250 + 225 + 300}{6} = \frac{275}{6}$$ $$G(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} + 10 \cdot (-2) = \frac{8}{3} + 6 - 20 = \frac{8}{3} - 14 = \frac{8 - 42}{3} = -\frac{34}{3} = -\frac{68}{6}$$ Sustituimos en la resta: $$A = \frac{275}{6} - \left( -\frac{68}{6} \right) = \frac{275 + 68}{6} = \frac{343}{6} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un resultado negativo, revisa el orden de las funciones en la resta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{343}{6} \approx 57,17 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = -x^2 + x + 11", "color": "#2563eb" }, { "id": "df", "latex": "g(x) = -2x + 1", "color": "#ef4444" }, { "id": "corte1", "latex": "(-2, 5)", "showLabel": true, "label": "A" }, { "id": "corte2", "latex": "(5, -9)", "showLabel": true, "label": "B" }, { "id": "area", "latex": "g(x) \\le y \\le f(x) \\left\\{ -2 \\le x \\le 5 \\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 7, "bottom": -12, "top": 13 } } }