Optimización: Superficie máxima de una vela triangular

Sea un triángulo rectángulo donde llamamos $x$ a la base e $y$ a la altura (los dos catetos del triángulo). La hipotenusa es un valor constante dado: $h = 8$ m. La función que queremos maximizar es la superficie (área) de la vela: $$S = \frac{x \cdot y}{2}$$ Como la vela tiene forma de triángulo rectángulo, sus lados cumplen el **Teorema de Pitágoras**: $$x^2 + y^2 = 8^2 \implies x^2 + y^2 = 64$$ De esta relación despejamos una de las variables (por ejemplo, la $y$): $$y = \sqrt{64 - x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es siempre identificar la función a maximizar/minimizar y encontrar una relación entre las variables para dejar la función en términos de una sola incógnita.

Sustituimos la expresión de $y$ en la fórmula de la superficie $S$: $$S(x) = \frac{x \cdot \sqrt{64 - x^2}}{2} = \frac{1}{2} x \sqrt{64 - x^2}$$ **Restricciones del dominio:** Dado que $x$ es una longitud y debe ser menor que la hipotenusa, el dominio de estudio es $x \in (0, 8)$. 💡 **Tip:** Para facilitar la derivada, a veces es útil introducir la $x$ dentro de la raíz ($x = \sqrt{x^2}$), pero derivaremos directamente usando la regla del producto para mayor claridad pedagógica.

Derivamos $S(x)$ respecto a $x$ usando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: Sea $u = \frac{1}{2}x \implies u' = \frac{1}{2}$ Sea $v = \sqrt{64-x^2} \implies v' = \frac{-2x}{2\sqrt{64-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{64-x^2}}$ $$S'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{64-x^2} + \frac{1}{2}x \left( \frac{-x}{\sqrt{64-x^2}} \right)$$ $$S'(x) = \frac{\sqrt{64-x^2}}{2} - \frac{x^2}{2\sqrt{64-x^2}}$$ Ponemos común denominador $2\sqrt{64-x^2}$: $$S'(x) = \frac{(64-x^2) - x^2}{2\sqrt{64-x^2}} = \frac{64 - 2x^2}{2\sqrt{64-x^2}} = \frac{32 - x^2}{\sqrt{64 - x^2}}$$ $$\boxed{S'(x) = \frac{32 - x^2}{\sqrt{64 - x^2}}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles máximos: $$S'(x) = 0 \implies \frac{32 - x^2}{\sqrt{64 - x^2}} = 0 \implies 32 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 32 \implies x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \text{ m}$$ Tomamos solo el valor positivo ya que $x$ representa una longitud. El valor aproximado es $x \approx 5,66$ m.

Estudiamos el signo de la derivada $S'(x)$ alrededor de $x = 4\sqrt{2}$ para confirmar que es un máximo relativo. Como el denominador $\sqrt{64-x^2}$ es siempre positivo en el dominio, el signo de $S'(x)$ depende solo del numerador $32 - x^2$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 4\sqrt{2}) & 4\sqrt{2} & (4\sqrt{2}, 8) \\ \hline S'(x) & + & 0 & - \\ \hline S(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - Si $x \lt 4\sqrt{2}$ (por ejemplo $x=1$), $32-1^2 > 0 \implies S'(x) > 0$. - Si $x \gt 4\sqrt{2}$ (por ejemplo $x=7$), $32-7^2 < 0 \implies S'(x) < 0$. Al pasar de creciente a decreciente, confirmamos que en **$x = 4\sqrt{2}$ hay un máximo absoluto**. 💡 **Tip:** También se podría usar la derivada segunda, pero en funciones con raíces suele ser más rápido el estudio del signo de la primera derivada.

Calculamos el valor del otro cateto $y$: $$y = \sqrt{64 - x^2} = \sqrt{64 - 32} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ m}$$ Las dimensiones que maximizan la superficie son catetos iguales, es decir, el triángulo debe ser **rectángulo e isósceles**. La superficie máxima sería: $$S_{max} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot 2}{2} = 16 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Las dimensiones son } x = 4\sqrt{2} \text{ m e } y = 4\sqrt{2} \text{ m}}$$