Distribución Normal: cálculo de parámetros y probabilidades

**a) (1,75 puntos) Calcula la media y la desviación típica de la distribución.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa la producción de vino en kg/ha. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$: $$X \sim N(\mu, \sigma)$$ Traducimos los datos del enunciado a lenguaje probabilístico: 1. El 2 % de los años la producción supera los 9000 kg/ha: $$P(X \gt 9000) = 0.02$$ 2. El 56 % de los años la producción es inferior a 8315 kg/ha: $$P(X \lt 8315) = 0.56$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para trabajar con la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, debemos tipificar la variable usando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Para la primera condición: $P(X \gt 9000) = 0.02$. Pasamos a la normal tipificada $Z$: $$P\left(Z \gt \frac{9000 - \mu}{\sigma}\right) = 0.02$$ Como la tabla suele darnos probabilidades acumuladas a la izquierda, usamos el complementario: $$1 - P\left(Z \le \frac{9000 - \mu}{\sigma}\right) = 0.02 \implies P\left(Z \le \frac{9000 - \mu}{\sigma}\right) = 0.98$$ Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada es $0.98$. Encontramos que para $z = 2.05$ la probabilidad es aproximadamente $0.9798$ (o $2.054$ para mayor precisión, usaremos $2.05$ según tablas estándar de Bachillerato): $$\frac{9000 - \mu}{\sigma} = 2.05 \implies 9000 - \mu = 2.05\sigma \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Para la segunda condición: $P(X \lt 8315) = 0.56$. Tipificamos directamente: $$P\left(Z \lt \frac{8315 - \mu}{\sigma}\right) = 0.56$$ Buscamos en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda una probabilidad de $0.56$. Encontramos que para $z = 0.15$ la probabilidad es $0.5596$ (aproximadamente $0.56$): $$\frac{8315 - \mu}{\sigma} = 0.15 \implies 8315 - \mu = 0.15\sigma \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Si la probabilidad es mayor que $0.5$, el valor de $z$ será positivo. Si fuera menor, el valor de $z$ sería negativo por simetría.

Resolvemos el sistema formado por la (Ecuación 1) y la (Ecuación 2): $$\begin{cases} 9000 - \mu = 2.05\sigma \\ 8315 - \mu = 0.15\sigma \end{cases}$$ Restamos la segunda a la primera para eliminar $\mu$: $$(9000 - 8315) = (2.05 - 0.15)\sigma$$ $$685 = 1.9\sigma \implies \sigma = \frac{685}{1.9} \approx 360.53$$ Ahora despejamos $\mu$ de la segunda ecuación: $$\mu = 8315 - 0.15(360.53) = 8315 - 54.08 = 8260.92$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\mu = 8260.92 \text{ kg/ha}, \quad \sigma = 360.53 \text{ kg/ha}}$$

**b) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que la producción supere los 8500kg/ha en un año elegido al azar.** Debemos calcular $P(X \gt 8500)$ usando los parámetros obtenidos: $$X \sim N(8260.92, 360.53)$$ Tipificamos el valor $8500$: $$Z = \frac{8500 - 8260.92}{360.53} = \frac{239.08}{360.53} \approx 0.66$$ La probabilidad solicitada es: $$P(X \gt 8500) = P(Z \gt 0.66)$$ Como la tabla da valores de $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.66) = 1 - P(Z \le 0.66)$$ Buscamos $0.66$ en la tabla: $P(Z \le 0.66) = 0.7454$. $$P(X \gt 8500) = 1 - 0.7454 = 0.2546$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{P(X \gt 8500) = 0.2546}$$