Geometría en el espacio: planos paralelos, planos perpendiculares a rectas y distancia entre rectas

**a) (0,5 puntos) Dado el punto $P \equiv (0, 2, 1)$, halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es paralelo a $\pi : 2x - 5y + z + 3 = 0$.** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales (o iguales). El vector normal del plano $\pi$ es: $$\vec{n}_{\pi} = (2, -5, 1)$$ Buscamos un plano $\pi'$ que tenga el mismo vector normal, por lo que su ecuación general será de la forma: $$2x - 5y + z + D = 0$$ Para que el punto $P(0, 2, 1)$ pertenezca al plano, debe satisfacer su ecuación. Sustituimos las coordenadas de $P$: $$2(0) - 5(2) + (1) + D = 0$$ $$0 - 10 + 1 + D = 0 \implies -9 + D = 0 \implies D = 9$$ La ecuación del plano buscado es: $$\boxed{2x - 5y + z + 9 = 0}$$ 💡 **Tip:** Si dos planos son paralelos, solo difieren en el término independiente $D$ de su ecuación general $Ax + By + Cz + D = 0$.

**b) (0,5 puntos) Dado el punto $P \equiv (1, 0, -3)$, halla la ecuación del plano que contiene a $P$ y es perpendicular a la recta $r$.** Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ es paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Calculamos $\vec{v}_r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (5, 1, -1), \quad \vec{n}_2 = (2, -2, -1)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [1 \cdot (-1)]\vec{i} + [(-1) \cdot 2]\vec{j} + [5 \cdot (-2)]\vec{k} - [1 \cdot 2]\vec{k} - [(-1) \cdot (-2)]\vec{i} - [(-1) \cdot 5]\vec{j}$$ $$\vec{v}_r = -1\vec{i} - 2\vec{j} - 10\vec{k} - 2\vec{k} - 2\vec{i} + 5\vec{j}$$ $$\vec{v}_r = -3\vec{i} + 3\vec{j} - 12\vec{k} = (-3, 3, -12)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $\vec{v}_r' = (-1, 1, -4)$.

Utilizamos el vector director hallado $\vec{v}_r' = (-1, 1, -4)$ como vector normal del plano $\vec{n}_{\pi} = (-1, 1, -4)$. La ecuación del plano es: $$-1x + 1y - 4z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P(1, 0, -3)$ para hallar $D$: $$-1(1) + 0 - 4(-3) + D = 0$$ $$-1 + 12 + D = 0 \implies 11 + D = 0 \implies D = -11$$ La ecuación es $-x + y - 4z - 11 = 0$, que multiplicando por $-1$ queda: $$\boxed{x - y + 4z + 11 = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a los normales de dichos planos.

**c) (1,5 puntos) Calcula la distancia entre las rectas $r$ y $s$.** Extraemos los puntos y vectores directores de las ecuaciones paramétricas: Recta $r$: - Punto $P_r = (5, -1, 8)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 0, 2)$ Recta $s$: - Punto $P_s = (2, 2, -1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (3, -1, 4)$ Calculamos el vector que une ambos puntos: $$\vec{P_r P_s} = (2-5, 2-(-1), -1-8) = (-3, 3, -9)$$ 💡 **Tip:** Para hallar la distancia entre dos rectas en el espacio, la fórmula más directa utiliza el producto mixto de los vectores $\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s$ y el módulo del producto vectorial de los directores.

Calculamos el determinante formado por los tres vectores (producto mixto): $$\det(\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s) = \begin{vmatrix} -3 & 3 & -9 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\text{Det} = [(-3)(0)(4) + (3)(2)(3) + (-9)(1)(-1)] - [(-9)(0)(3) + (3)(1)(4) + (-3)(2)(-1)]$$ $$\text{Det} = [0 + 18 + 9] - [0 + 12 + 6] = 27 - 18 = 9$$ Calculamos ahora el producto vectorial de los vectores directores $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = (0 - (-2))\vec{i} - (4 - 6)\vec{j} + (-1 - 0)\vec{k} = 2\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}$$ El módulo de este producto vectorial es: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$

Como el producto mixto es distinto de cero ($9 \neq 0$), las rectas **se cruzan**. La distancia entre ellas se calcula como el cociente entre el valor absoluto del producto mixto y el módulo del producto vectorial: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|} = \frac{|9|}{3} = 3 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = 3}$$