Intersección de planos y distancia entre recta y plano

**a) (1,25 puntos) Dados los planos de ecuaciones** $$\begin{cases} x + y + z = 2, \\ 2x + y - z = 4, \\ mx + y + 3z = 6, \\ x - 2z = m, \end{cases}$$ **Determina el valor del parámetro $m$ para que los planos se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.** Para que los cuatro planos se corten en un único punto, el sistema de ecuaciones formado por ellos debe ser un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, esto ocurre si el rango de la matriz de coeficientes $A$ y el rango de la matriz ampliada $A^*$ son iguales al número de incógnitas, que en este caso es 3 ($x, y, z$). Definimos las matrices del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ m & 1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 4 \\ m & 1 & 3 & 6 \\ 1 & 0 & -2 & m \end{array}\right)$$ Como $A^*$ es una matriz cuadrada de orden 4, para que su rango sea 3, su determinante debe ser cero ($|A^*| = 0$).

Calculamos el determinante de $A^*$ aplicando propiedades de los determinantes para hacer ceros: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 4 \\ m & 1 & 3 & 6 \\ 1 & 0 & -2 & m \end{vmatrix}$$ Realizamos las operaciones $F_2 \to F_2 - 2F_1$, $F_3 \to F_3 - mF_1$ y $F_4 \to F_4 - F_1$: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 1-m & 3-m & 6-2m \\ 0 & -1 & -3 & m-2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera columna y luego hacemos $F_4 \to F_4 - F_2$: $$|A^*| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -3 & 0 \\ 1-m & 3-m & 6-2m \\ -1 & -3 & m-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & -3 & 0 \\ 1-m & 3-m & 6-2m \\ 0 & 0 & m-2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos ahora por la tercera fila: $$|A^*| = (m-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1-m & 3-m \end{vmatrix} = (m-2) [(-1)(3-m) - (-3)(1-m)]$$ $$|A^*| = (m-2) [-3+m + 3-3m] = (m-2)(-2m) = -2m^2 + 4m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2m(m-2) = 0 \implies m=0, \quad m=2$$

Analizamos los rangos para $m=0$ y $m=2$: 1. **Si $m=0$**: Comprobamos el rango de $A$. Un menor de orden 3 es: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (-2-1+0) - (1+0-4) = -3 - (-3) = 0$$ Si calculamos otros menores de $A$ para $m=0$, veremos que todos son 0. Por tanto, $rg(A)=2$. Como $rg(A^*) = 3$ (existe un menor $3 \times 3$ no nulo en $A^*$, por ejemplo con la columna de términos independientes), el sistema es Incompatible. 2. **Si $m=2$**: Veamos un menor de orden 3 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (3-2+2) - (2-1+6) = 3 - 7 = -4 \neq 0$$ Entonces $rg(A)=3$. Como $|A^*|=0$, entonces $rg(A^*)=3$. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, si $rg(A)=rg(A^*)=3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado**. ✅ **Valor de $m$:** $$\boxed{m=2}$$

Para $m=2$, resolvemos el sistema utilizando tres de las ecuaciones (la tercera es combinación de las otras): $$\begin{cases} (1) \quad x + y + z = 2 \\ (2) \quad 2x + y - z = 4 \\ (4) \quad x - 2z = 2 \end{cases}$$ De la ecuación (4) despejamos $x$: $x = 2 + 2z$. Sustituimos en (1) y (2): $$\begin{cases} (2+2z) + y + z = 2 \implies y + 3z = 0 \implies y = -3z \\ 2(2+2z) + y - z = 4 \implies 4 + 4z + y - z = 4 \implies y + 3z = 0 \end{cases}$$ Esto nos indica que debemos usar la ecuación que descartamos o revisar el paso. Usemos (1), (2) y (3): $$(3) \quad 2x + y + 3z = 6$$ Restamos (3) - (2): $$(2x + y + 3z) - (2x + y - z) = 6 - 4 \implies 4z = 2 \implies z = \frac{1}{2}$$ Ahora calculamos $x$ usando la (4): $$x = 2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + 1 = 3$$ Y finalmente $y$ usando la (1): $$3 + y + \frac{1}{2} = 2 \implies y = 2 - 3 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$ ✅ **Punto de corte:** $$\boxed{P\left(3, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)}$$

**b) (1,25 puntos) Calcula la distancia de la recta $r \equiv \frac{x-3}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+2}{5}$ al plano $\pi : -x - 3y + z + 4 = 0$.** Primero obtenemos los elementos característicos de la recta y el plano: - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (-1, 2, 5)$ - Punto de la recta $r$: $P_r = (3, 1, -2)$ - Vector normal al plano $\pi$: $\vec{n}_\pi = (-1, -3, 1)$ Estudiamos la posición relativa mediante el producto escalar de sus vectores: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-1)(-1) + (2)(-3) + (5)(1) = 1 - 6 + 5 = 0$$ Como el producto escalar es 0, el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano, lo que significa que **la recta es paralela al plano o está contenida en él**. Comprobamos si $P_r$ pertenece a $\pi$: $$-(3) - 3(1) + (-2) + 4 = -3 - 3 - 2 + 4 = -4 \neq 0$$ Como $P_r \notin \pi$, la recta es **estrictamente paralela** al plano.

Al ser paralelos, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$. Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los datos: $$d(r, \pi) = \frac{|-1(3) - 3(1) + 1(-2) + 4|}{\sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|-3 - 3 - 2 + 4|}{\sqrt{1 + 9 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{11}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{4}{\sqrt{11}} \text{ unidades}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{4\sqrt{11}}{11}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el producto escalar del vector director de la recta y el normal del plano es cero, la distancia siempre será constante en todos sus puntos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{4\sqrt{11}}{11} \approx 1.206 \text{ u}}$$